Campo Magnético

Un Imanes genera un campo magnético. Las líneas de fuerza salen del Norte y se dirigen al Sur. Las líneas de campo son cerradas, de manera que no existen ni fuentes ni sumideros.

Intensidad del Campo Magnético

La intensidad del campo magnético es el valor que toma el campo magnético en cada punto del espacio. Se define como $\vec{B}$, con dirección y sentido iguales a las líneas de fuerza.

Se define la fuerza magnética $F_m$ como ${\vec{F}}_m=q(\vec{v}\times \vec{B})$. La dirección y sentido de $F_m$ están dados por $(\vec{v}\times \vec{B})$, según la regla de la mano derecha.

${\vec{F}}_m=q(\vec{v}\times \vec{B})⟹F_m=qvB\sin (\theta )⟹B=\frac{F_m}{qv\sin (\theta )};[\text{Tesla }T]=\frac{[\text{Newton }N]}{[\text{Coulomb }C]\frac{[\text{metro }m]}{[\text{segundos}]}}$

Conversión de Gauss a Tesla: $1G=10^{-4}T$.

Movimiento de una Carga

Los campos $\vec{E}$ y $\vec{B}$ desvían las trayectorias de las Cargas Eléctricas en movimiento, pero ${\vec{F}}_e$ es paralela al Campo Eléctrico $\vec{E}$ y ${\vec{F}}_m$ es perpendicular a $\vec{v}$.

$$\begin{array}{l}{\vec{F}}_e=q\vec{E}\\ {\vec{F}}_{m}q\vec{v}\times \vec{B}\end{array}\}\vec{F}={\vec{F}}_e+{\vec{F}}_m=q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})$$

Se conoce a $\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})$ como la Fuerza de Lorentz. Ahora, analizando otro caso:

$F=m{a}_c\{\begin{array}{l}FF=F_B=qvB\\ a_c=\frac{v^2}{r}\end{array}⟹qvB=\frac{m{v}^2}{r}⟹r=\frac{mv}{qB}$

Se puede calcular el radio de la circunferencia con $r=\frac{mv}{qB}$. Ahora, si $v$ forma un ángulo $\theta$ con $B$:

El vector velocidad puede descomponerse en una componente $v_{\parallel }=v\cos (\theta )$ paralela al campo y otra componente $v_{\perp }=\sin (\theta )$. En el caso de $\theta =0$, la componente paralela $v_{\parallel }$ no experimenta ninguna fuerza. La componente perpendicular $v_{\perp }$ produce un movimiento circular alrededor de las líneas de campo. Juntas, generan un movimiento helicoidal. Se halla:

$r=\frac{m{v}_{\perp }}{qB}=\frac{mv}{qB}\sin (\theta );\Delta x=v_{\parallel }t=v\cos (\theta )t$

Donde $\Delta x$ es el paso.

Selector de Velocidades

Para que las partículas se muevan más o menos a la misma velocidad, se necesita un campo eléctrico y otro magnético, ambos uniformes y perpendiculares entre sí. Considerando que las ranuras $S_1$ y $S_2$ de un selector de velocidades están alineadas:

${\vec{F}}_b=q\vec{v}\times \vec{B}\wedge {\vec{F}}_e=q\vec{E}\wedge {\vec{F}}_T=0=F_b-F_e⟹\cancel{q}E=\cancel{q}vB⟹v=\frac{E}{B}$

Las cargas con $v=\frac{E}{B}$ no se desvía, y pasarán por $S_2$. Esto no depende del signo de la carga. Un selector de velocidades sirve para, por ejemplo, construir un espectrómetro de masas, un instrumento para medir masas atómicas.

Fuerza sobre un Conductor con Corriente

Se coloca un alambre recto en el campo magnético entre los polos opuestos de un imán de cerradura. Al fluir una corriente en el alambre, se ejerce una fuerza sobre el alambre.

Se descubrió experimentalmente que $F_m\propto IlB\sin (\theta )$. Si la constante de proporcionalidad es 1, entonces se deduce que $F_m=IlB\sin (\theta )⟹F_{\text{max}}=IlB$. Vectorialmente: ${\vec{F}}_m=I\vec{l}\times \vec{B}$. Si $B$ no es uniforme, entonces ${\vec{F}}_m=\int Id\vec{l}\times \vec{B};|{\vec{F}}_m|=\int IB\sin (\theta )dl$.

Acción del Campo Magnético sobre un Circuito Plano

Para un circuito, la fuerza magnética se obtiene integrando a lo largo del circuito.

Si $B$ es uniforme: $\vec{F}=\vec{B}{\oint }_{C}id\vec{l}=0⟹$ para un circuito general, la $F_m$ es nula. Esto no impide que pueda existir un momento de fuerza sobre el circuito. Considerando ahora $B$ en el plano de la espira de área $A=ab$:

$A=ab;F_1=F_3=0;F_2=F_4=IaB$

Ahora, si la espiga tiene un punto de apoyo:

${\tau }_{\text{max}}=F_2\frac{b}{2}+F_4\frac{b}{2}=IaBb⟹{\tau }_{\text{max}}=IBA$

Donde ${\tau }_{\text{max}}$ es el momento de fuerza. Ahora, si la espiga forma un ángulo $\theta$ con $\vec{B}$:

Se tiene $-F_2=F_4$, y se cancelan por estar en la misma recta de acción.

$\tau =F_1\frac{a}{2}\sin (\theta )+F_3\frac{a}{2}\sin \theta =IbBa\sin (\theta )=IAB\sin (\theta )⟹\vec{\tau }=I\vec{A}\times \vec{B}$

Sea $\vec{\mu }=I\vec{A}$ el momento dipolar magnético, entonces queda $\vec{\tau }=\vec{\mu }\times \vec{B};|\vec{\tau }|=\mu B\sin (\theta )$.