Ley de Ampere

El Ampere es la intensidad de corriente que circulando por dos conductores rectilíneos de longitud infinita, sección circular y paralelos, separados entre sí un metro en el vacío, producirá una fuerza magnética entre ellos de $2\times 10^{-7}N$ por cada metro de longitud de cada uno de los dos hilos.

Las líneas de campo de un alambre largo y recto por el que circula Corriente Eléctrica son circunferencias que enlazan el alambre conductor. La Ley de Ampere relaciona el Campo Magnético que rodea al conductor con la corriente enlazada:

$\oint \vec{B}\overrightarrow{dl}=\oint Bdl=B\oint dl=Bl=B(2\pi R)\wedge B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}⟹\oint \vec{B}\overrightarrow{dl}={\mu }_{0}I$

Donde $I$ es la corriente neta enlazada por la curva cerrada de la integral: $\oint \vec{B}\overrightarrow{dl}={\mu }_0\sum I_{\text{enlazadas}}$.

Campo Magnético Adentro de un Solenoide

En el exterior del solenoide se tiene $B=0$. En el interior, $B$ es homogéneo y paralelo al eje del solenoide. Se aplica la Ley de Ampere a la trayectoria cerrada $abcda$:

$$\begin{array}{r}\oint \vec{B}\overrightarrow{dl}={\oint }_a^b\vec{B}\overrightarrow{dl}+\cancel{{\oint }_b^c\vec{B}\overrightarrow{dl}}+\cancel{{\oint }_c^d\vec{B}\overrightarrow{dl}}+\cancel{{\oint }_d^a\vec{B}\overrightarrow{dl}}=Bd={\mu }_{0}NI\\ B={\mu }_0\frac{NI}{d}\wedge n=\frac{N}{d}⟹B={\mu }_{0}nI\end{array}$$

Donde $N$ es el número de espiras que abarca la trayectoria, y $n$ es el número de espiras por unidad de longitud.

Campo Magnético Adentro de un Toroide

Sea un toroide de radio $r$ y $N$ espiras de radio $a$, por el que circula una corriente $I$.

$\oint \vec{B}\cdot \overrightarrow{ds}={\mu }_{0}NI=B2\pi r⟹B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}$

El campo no es uniforme, sino que depende de $\frac{1}{r}$. Si $r>>a$, entonces se considera que el campo es aproximadamente homogéneo en el interior del toroide. $r$ es el radio medio del toroide.

Forma General de la Ley de Ampere

Considerando una corriente no estacionaria $I$ (que varía con el tiempo) que carga un Capacitor. La Cargas Eléctricas $Q$ cambia, pero no existe ninguna corriente de conducción entre las placas. Aplicando la ley de ampere:

$S_1:\oint \vec{B}\overrightarrow{dl}={\mu }_{0}I\wedge S_2:\oint \vec{B}\overrightarrow{dl}=0\text{ , pero }{\mu }_{0}I\ne 0\text{ , entonces?}$

La ley de Ampere no prevé la existencia de discontinuidades en el circuito. Maxwell resuelve esta situación postulando la existencia de una corriente ficticia llamada corriente de desplazamiento $I_d$:

$I_d={\epsilon }_0\frac{d{\varphi }_E}{dt}\text{, siendo }{\varphi }_E=\int \vec{E}\cdot \overrightarrow{dA}$

Se enuncia entonces la Ley de Ampere-Maxwell, que establece que las corrientes $I$ e $I_d$ actúan como fuentes del campo magnético, lo que implica que los campos eléctricos variables producen campos magnéticos:

$\oint \vec{B}\cdot \overrightarrow{dl}={\mu }_0(I+I_d)={\mu }_{0}I+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{d{\varphi }_E}{dt}$

En un capacitor de placas paralelas, siendo el flujo eléctrico ${\varphi }_E=EA$, la corriente de desplazamiento está dada por $I_d={\epsilon }_0\frac{d{\varphi }_E}{dt}={\epsilon }_{0}A\frac{dE}{dt}$.

Forma diferencial de la ley de Ampere-Maxwell:

$\vec{\nabla }\times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$