Teoría de las Muestras

En Estadística, el muestreo de una Población nos permite obtener parámetros estadísticos como las Medidas de Posición o las Medidas de Dispersión, cuyo valor puede variar de muestra en muestra.

En todo muestreo existe cierto margen de error. La teoría de las muestras nos permite analizar la calidad de una muestra.

Sean $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una muestra de una población, siendo $\overline{X}=\frac{X_1,X_2,\dots ,X_n}{n}$ la media muestral. Siendo $X_1,\dots ,X_n$ valores de una variable aleatoria, $\overline{X}$ también lo es. Se calcula su valor esperado:

$E(\overline{X})=E\left(\frac{X_1,X_2,\dots ,X_n}{n}\right)=\frac{1}{n}(E(X_1)+\cdots +E(X_n))=\frac{1}{n}n{\mu }_X⟹E(\overline{X})={\mu }_X$

Y su varianza:

$V(\overline{X})=V\left(\frac{X_1,X_2,\dots ,X_n}{n}\right)=\frac{1}{n^2}(V(X_1)+\cdots +V(X_n))=\frac{1}{n^2}n{\sigma }_X^2⟹V(\overline{X})=\frac{{\sigma }_X^2}{n}$

Por ejemplo, sea una población $2,3,6,8,11$ con $N=5$, ${\mu }_X=6$, y ${\sigma }_X^2=10.8$, se seleccionan muestras con reposición siendo $n=2$, y se tienen $25$ muestras posibles:

2-2	2-3	2-6	2-8	2-11
3-2	3-3	3-6	3-8	3-11
6-2	6-3	6-6	6-8	6-11
8-2	8-3	6-6	8-8	8-11
11-2	11-3	11-6	11-8	11-11

Conclusiones:

1. El total de muestras con reposición de tamaño $n$ posibles es $N^n$.
2. Para realizar una investigación estadística es suficiente una sola muestra de tamaño $n$.
3. La media muestral resulta ser una variable mientras la muestra no esté definida.
4. \mu_\overline X = \mu_X.
5. \sigma_\overline X^2 = \frac{\sigma_X^2}{n} \implies \sigma_\overline X = \frac{\sigma_X}{n}.
6. En el muestreo con reposición, cuando $n\to \infty$, se ve que $\overline{X}\sim N\left({\mu }_X,\frac{{\sigma }_X^2}{n}\right)$. Esto se debe al Teorema Central del Límite. Si el ejemplo fuera sin reposición, entonces el total de muestras posibles es $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)$.