Medidas de Posición

En Estadística, las medidas de posición son valores representativos del conjunto de datos.

La fórmula empírica de Karl Pearson $\overline{x}-M_o=3(\overline{x}-M_e)$ relaciona las 3 medidas de posición más usadas.

Promedios

Por excelencia, se usa la media aritmética, aunque también se puede usar la geométrica, armónica, o cuadrática.

$\overline{x}=\frac{\sum x}{n}$

1. Para un conjunto definido, $\sum \overline{x}=n\overline{x}$ es constante.
2. $\sum (x_i-\overline{x})=\sum x_i-\sum x_i=0$.
3. $\sum (x_i-\overline{x}{)}^2$ es mínimo.
4. a) Sea $d_i=x_i\pm A⟹\overline{d}=\overline{x}\pm A$.
5. b) Sea $d_i=c\cdot x_i⟹\overline{d}=c\cdot \overline{x}$.
6. Sea $d_i=x_i\pm y_i⟹\overline{d}=\overline{x}\pm \overline{y}$.

La media aritmética se ve afectada por valores extremos (outliers).

Mediana

La mediana es el valor que divide al conjunto de datos en dos partes iguales (50%). No se ve afectada por valores extremos.

$\text{para datos agrupados: }{M}_e=VLI+c\cdot \frac{\frac{n}{2}-F_a}{f_m};\text{para no agrupados: }{M}_e=\frac{n+1}{2}$

Moda

Es el valor con la mayor frecuencia absoluta.

$M_o=VLI+c\cdot \frac{{\Delta }_1}{{\Delta }_1+{\Delta }_2};{\Delta }_1=f_{\text{max}}-f_{\text{anterior}};{\Delta }_2=f_{\text{max}}-f_{\text{posterior}}$

Cuantiles

Los cuantiles son valores que dividen al conjunto ordenado en $k$ partes iguales.

Los cuartiles lo dividen en 4 partes, donde $Q_1=VLI+c\cdot \frac{\frac{n}{4}-F_a}{f_{q_1}}$, $Q_2=M_e$, y $Q_3=VLI+c\cdot \frac{\frac{3n}{4}-F_a}{f_{q_3}}$. Se utilizan en los gráficos de caja, que condensan muchas medidas de manera visual.

Asimetría

La asimetría es el grado de desviación hacia la izquierda o derecha con respecto a la moda.

• Asimetría hacia la izquierda: $\overline{x}<M_e<M_o$.
• Simetría: $\overline{x}=M_e=M_o$.
• Asimetría hacia la derecha: $\overline{x}>M_e>M_o$.