Teoría de la Decisión Estadística

En Estadística, la teoría de la decisión estadística constituye la parte de la inferencia estadística que permite decidir, sobre una base de resultados muestrales, la validez de algún supuesto del valor de un parámetro.

En esta teoría no se sabe el valor de un parámetro, pero en lugar de estimarlo (como en la Teoría de la Estimación Estadística), se supone su valor y luego se prueba su validez. Las pruebas de hipótesis permiten probar la validez de estos valores supuestos.

Hipótesis Estadística: es un supuesto formulado respecto del valor de algún parámetro de una Población. Existen dos tipos:

• Hipótesis nula ($H_0$): se supone un valor determinado y luego se busca rechazarlo.
• Hipótesis alternativa ($H_1$): cualquier hipótesis diferente a la nula. Puede adoptar una de 3 formas:
  1. $\mu >{\mu }_0$: prueba unilateral a la derecha.
  2. $\mu <{\mu }_0$: prueba unilateral a la izquierda.
  3. $\mu \ne {\mu }_0$: prueba bilateral.

Pasos Operativos

1. Formulación de la hipótesis nula: se formula $H_0)\mu ={\mu }_0$.
2. Formulación de la hipótesis alternativa: se adopta solo una de las 3 formas.

Si se desea probar	Parámetro desconocido	Parámetro conocido
Aumento de producción	$\mu >{\mu }_0$	$\mu <{\mu }_0$
Disminución de tiempos	$\mu <{\mu }_0$	$\mu >{\mu }_0$

3. Determinación de valores muestrales: se realiza la investigación muestral y el Cálculo del Tamaño de la Muestra. Se obtienen $\overline{x}$, $S_x^2$, y $S_x$.
4. Elemento de comparación: se compara la media poblacional ${\mu }_0$ con la media muestral $\overline{x}$. Para esto se estandariza a $z$ cuando $n<30$ o $t$ cuando $n\le 30$.

$\text{Para la media: }z=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\frac{S_x}{\sqrt{n}}},t=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\frac{S_x}{\sqrt{n-1}}}.\text{ Para la varianza: }z=\frac{S_x-{\sigma }_x}{\frac{{\sigma }_x}{\sqrt{2n}}},{\chi }_1^2=\frac{n{S}_x^2}{{\sigma }_x^2}$

5. Criterio objetivo: se determina objetivamente un valor límite, usando una probabilidad cercana a cero (dada por el nivel de significación $\alpha$). Luego, se encuentra en la tabla correspondiente el valor crítico de la variable ($z_c$ o $t_c$), tal que $P(z_c)=1-\alpha$. Este valor crítico divide a las zonas de rechazo y no rechazo.

6. Regla de decisión: suponiendo $H_0)\mu ={\mu }_0$: si $|z|\ge |z_c|⟹$ las diferencias entre $\overline{x}$ y ${<}^{\prime }m{u}_0$ son significativas, por ende se rechaza la hipótesis nula. En cambio, si $|z|<|z_c|⟹$ no se rechaza la hipótesis nula. Se utiliza la $t$ de Student cuando $n<30$.

Análisis del Nivel de Significación

Estos resultados obtenidos siempre tienen el riesgo del error.

Un error de tipo I ($e_I$) es un falso negativo que surge cuando se rechaza una hipótesis nula verdadera. El nivel de significancia $\alpha$ es exactamente la probabilidad de cometer este error.

Un error de tipo II ($e_{II}$) es un falso positivo ocurre cuando se acepta como verdadera una hipótesis falsa. Su probabilidad de cometerse es $\beta$ y no es anticipable.