Teorema Central del Límite

El teorema central del límite es uno de los enunciados más importantes de la Probabilidad.

Sea $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una secuencia de variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente, cada una con media ${\mu }_X$ y varianza ${\sigma }_X^2$. La suma de esa secuencia $S_n=\sum X_i=X_1+X_2+\cdots +X_n$ es una nueva variable aleatoria con una Distribución Normal aproximada $S_n\sim N(n{\mu }_X,n{\sigma }_X^2)$ para un $n$ suficientemente grande.

Si se estandariza $S_n$ de la siguiente manera:

$Z=\frac{S_n-n{\mu }_X}{\sqrt{n{\sigma }_X^2}}=\frac{S_n-n{\mu }_X}{{\sigma }_X\sqrt{n}}$

Se obtiene una variable aleatoria $Z$ tal que, para un $n$ grande, se cumple:

$P\left(\frac{S_n-n{\mu }_X}{{\sigma }_X\sqrt{n}}<z\right)=P(Z<z)=\Phi (z)\forall z\in \mathbb{R}$

Donde $\Phi (z)$ es la función de distribución $N(0,1)$. Es decir, $n\to \infty \wedge Z\to N(0,1)$. Si se analiza $Z$:

Z = \frac{S_n - n\mu_X}{\sigma_X \sqrt n} = \frac{\frac{1}{n}\sum X_i - \mu_X}{\sigma_X \frac{\sqrt n}{n}} = \frac{\overline X - \mu_X}{\frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}} = \frac{\overline X - \mu_\overline X}{\sigma_\overline X} \implies \overline X \sim N(\mu_\overline X, \sigma_\overline X^2)

De manera que la distribución de muestreo de $\overline{X}$ es aproximadamente normal si el tamaño muestral $n$ es grande. En general, se considera que si $n>30$ entonces la aproximación es buena.

Distribución para el Caso de Muestreo sin Reposición

Las conclusiones siguen siendo válidas, excepto que el total de muestras realizables es $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)$. Además, la varianza es diferente:

\sigma_\overline X^2 = \frac{\sigma_X^2}{n} \frac{N-n}{n-1}

Donde $\frac{N-n}{n-1}$ es un factor de corrección que se acerca a $0$ cuando $N\approx n$. También se cumple que:

\overline X \sim N\left(\mu_\overline X, \frac{\sigma^2_X}{n}\frac{N-n}{n-1}\right) \ \ \ \text{si }n \rightarrow \infty

Distribución de Muestreo del Desvío Estándar

$$\begin{array}{l}E(S_X)={\mu }_{S_X}={\sigma }_X\\ V(S_X)={\sigma }_{S_X}^2=\frac{{\sigma }_X^2}{2n}\end{array}\}⟹S_X\sim N\left({\sigma }_X,\frac{{\sigma }_X^2}{2n}\right)\text{si }n\to \infty$$

Resumen

	Media Poblacional	Varianza Poblacional	Desvío Estándar Poblacional
Media Muestral	E(\overline X) = \mu_\overline X = \mu_X	V(\overline X)=\sigma^2_\overline X = \frac{\sigma^2}{n}	DS(\overline X) = \sigma_\overline X = \frac{\sigma X}{\sqrt n}
Desvío Estándar	$E(S_X)={\mu }_{S_X}={\sigma }_X$	$V(S_X)={\sigma }_{S_X}^2=\frac{{\sigma }_X^2}{2n}$	$DS(S_X)={\sigma }_{S_X}=\frac{{\sigma }_X}{\sqrt{2n}}$
Media (sin reposición)	E(\overline X) = \mu_\overline X = \mu_X	$V(\overline{X})={\sigma }_{\overline{X}}^2=\frac{{\sigma }_X^2}{n}\frac{N-n}{N-1}$	$DS(\overline{X})={\sigma }_{\overline{X}}=\frac{{\sigma }_X^2}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$