Estimación por Intervalos de Confianza

En la Teoría de la Estimación Estadística, la estimación por intervalos es un procedimiento que permite, a partir de un estimador puntual, obtener dos valores que limitan un intervalo de confianza, dentro del cual se encuentra el parámetro a estimar con una cierta probabilidad conocida, denominada nivel de confianza.

$P(l\le \theta \le u)=NC=1-\alpha$

Donde $NC$ es el nivel de confianza, y $\alpha$ es el nivel de significación. Sin $NC=0.95⟹$ en 95 de cada 100 muestras el parámetro estará dentro del intervalo. Los niveles de confianza más comunes para utilizar son 0.99, 0.95, y 0.90.

Para Muestras Grandes

Este caso tiene las siguientes condiciones:

1. $n>30$.
2. Todas las estadísticas son variables, y por el Teorema Central del Límite tienden a tener una Distribución Normal cuando $n$ es grande.
3. Como $n$ es grande, no se necesita corregir el vicio del estimador $S_x^2$.

\overline x = \mu_\overline x = \mu_x \ \land \ \sigma_\overline x = \frac{\sigma_x}{\sqrt n} \text{ se estandariza con } z = \frac{\overline x - \mu_\overline x}{\sigma_\overline x} = \frac{\overline x - \mu_x}{\frac{\sigma_x}{\sqrt n}}

Los valores son simétricos de manera que:

$P\left(-z_1\le \frac{\overline{x}-{\mu }_x}{\frac{{\sigma }_x}{\sqrt{n}}}\le z_1\right)=P\left(\overline{x}+z_1\frac{{\sigma }_x}{\sqrt{n}}\ge {\mu }_x\ge \overline{x}-z_1\frac{{\sigma }_x}{\sqrt{n}}\right)=NC$

Ahora, también se estandariza la varianza:

$z_i=\frac{S_x-{\mu }_{S_x}}{{\sigma }_{S_x}}=\frac{S_x-{\mu }_x}{\frac{{\sigma }_x}{\sqrt{2n}}}$

De manera que:

$P\left(-z_1\le \frac{S_x-{\sigma }_x}{\frac{{\sigma }_x}{\sqrt{2n}}}\le z_1\right)=P\left(S_x+z_1\frac{S_x}{\sqrt{2n}}\ge {\mu }_x\ge S_x-z_1\frac{S_x}{\sqrt{2n}}\right)=NC$

El nivel de confianza $NC$ es una Probabilidad. A mayor $NC$, hay mayor probabilidad de que el parámetro caiga en el intervalo pero hay menor precisión en la estimación (por ser un intervalo más grande). Si $N=1⟹$ el intervalo va de $-\infty$ a $+\infty$.

Para Muestras Pequeñas

En este caso las condiciones son:

1. $n\le 30$.
2. Todas las estadísticas son variables y tienen una distribución que no necesariamente es normal.
3. Como $n$ es pequeño, es necesario corregir el vicio del estimador $S_x^2$.

Para la media poblacional usamos una Distribución t de Student:

t = \frac{\overline x - \mu_\overline x}{\sigma_\overline x} = \frac{\overline x - \mu_x}{\frac{S_x}{\sqrt{n-1}}} = \frac{\overline x - \mu_x}{\frac{S_c}{\sqrt n}} \ \text{ tal que } \ P(-t_1 \le t \le t_1) = NC

Ahora, reemplazando $t$:

$P\left(-t_1\le \frac{\overline{x}-{\mu }_x}{\frac{S_x}{\sqrt{n-1}}}\le t_1\right)=P\left(\overline{x}+t_1\frac{S_x}{\sqrt{n-1}}\ge {\mu }_x\ge \overline{x}-t_1\frac{S_x}{\sqrt{n-1}}\right)=NC$

Para la varianza poblacional usamos una variable ${\chi }^2$ de la Distribución Chi-Cuadrado con $v$ grados de libertad:

$\frac{n{S}_x^2}{{\sigma }_x^2}=\frac{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2}{{\sigma }_x^2}={\chi }_v^2\text{ tal que }P({\chi }_1^2\le {\chi }_v^2\le {\chi }_2^2)=NC$

Ahora, reemplazando ${\chi }_v^2$:

$P\left({\chi }_1^2\le \frac{n{S}_x^2}{{\sigma }_x^2}\le {\chi }_2^2\right)=P\left(\frac{n{S}_x^2}{{\chi }_1^2}\ge {\sigma }_x^2\ge \frac{n{S}_x^2}{{\chi }_2^2}\right)=NC$