Distribución t de Student

La distribución t de Student supone que $Z$ y ${\chi }_n^2$ son variables aleatorias independientes, con $Z\sim N$ (que sigue una Distribución Normal) y ${\chi }_n^2\sim {\chi }_n^2$ (que sigue una Distribución Chi-Cuadrado). Se define una variable aleatoria $T_n$:

$T_n=\frac{Z}{\sqrt{\frac{{\chi }_n^2}{n}}}$

La cual sigue una distribución t de Student con $n$ grados de libertad. A medida que $n$ crece, la función se acerca cada vez más a la función normal estandarizada.

Sea la siguiente variable aleatoria $t$ definida a partir de una variable aleatoria $X$ con media $\mu$ y varianza ${\sigma }^2$:

$t=\frac{\overline{X}-{\mu }_{\overline{X}}}{\sqrt{\frac{\sum (X_i-\overline{X}{)}^2}{n(n-1)}}}=\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{S}{\sqrt{n-1}}}=\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{S_c}{\sqrt{n}}}⟹t=\frac{\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}}{\sqrt{\frac{S_c^2}{{\sigma }^2}}}⟹t=\frac{Z}{\sqrt{\frac{{\chi }_v^2}{v}}}$

Siendo $v=n-1$, por lo que $t$ es una variable aleatoria con distribución $t$ de Student con $v$ grados de libertad.