Probabilidad

Para construir un modelo probabilístico que describa un fenómeno aleatorio, se necesita conocer todos los resultados posibles y asignarle a cada uno un grado de posibilidad.

El espacio muestral $\Omega$ es el conjunto de todos los posibles resultados de un fenómeno aleatorio. Por ejemplo, si lanzamos dos monedas, el espacio muestral es $\Omega =\{(C,C),(C,X),(X,C),(X,X)\}$. Si lanzamos un dado de seis caras, el espacio muestral es $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$.

Todo resultado de un $\Omega$ debe ser mutuamente excluyente respecto de los demás, y en conjunto deben ser colectivamente exhaustivos. El espacio muestral puede ser discreto (enumerable) o continuo (un intervalo de números reales).

Un evento o suceso $A$ es un conjunto de resultados posibles contenidos en el espacio muestral, de forma que $A\subseteq \Omega$. Bajo esta definición, el espacio muestral $\Omega$ y el conjunto vacío $\varphi$ son eventos.

Sea un fenómeno aleatorio que puede dar lugar al suceso $A$ de $h$ formas diferentes, las cuales le favorecen de un total de $n$ formas posibles de ocurrencia del fenómeno. Se define a la probabilidad de ocurrencia de $A$ como:

$n\le 1\wedge 0\le h\le n⟹0\le P(A)\le 1\wedge P(A)=\frac{h}{n}$

Si $h=0$, entonces $A$ es un suceso imposible. Si $h=1$, entonces $A$ es un suceso seguro y cierto.

Probabilidad de Sucesos Opuestos

Sea $\overline{A}$ el conjunto de sucesos que no son el suceso $A$. Si $h$ casos favorecen a $A$, entonces $(n-h)$ casos favorecen a $\overline{A}$, de manera que $P(\overline{A})=\frac{n-h}{n}$.

$P(A)+P(\overline{A})=\frac{h}{n}+\frac{n-h}{n}=\cancel{\frac{h}{n}}+1-\cancel{\frac{h}{n}}=1⟹P(A)+P(\overline{A})=1$

Probabilidad de Sucesos Mutuamente Excluyentes

Sean $A$ y $B$ incompatibles de forma que $P(A\cap B)=0$.

Regla de la Suma

Sean $A$ y $B$ mutuamente excluyentes tal que la probabilidad de $A\cup B$ es:

$P(A\cup B)=\frac{h_A+h_B}{n}=\frac{h_A}{n}+\frac{h_B}{n}=P(A)+P(B)⟹P(A\cup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})=1$

Ahora, si $A$ y $B$ fueran compatibles:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Se resta la parte que se sumó dos veces.

Probabilidad Condicional

Sea $P(B/A)$ la probabilidad condicional de $B$ dado $A$, es decir la probabilidad de que ocurra $B$ habiendo ya ocurrido $A$.

Si se cumple que $P(B/A)=P(B)⟹$ $A$ y $B$ son sucesos independientes.

Regla de la Multiplicación

Siendo $A$ y $B$ sucesos independientes, se cumple que:

$P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

La cual es la probabilidad de que un “dardo” que cayó en $B$ también caiga en $A\cap B$.