Estimación Puntual

En la Teoría de la Estimación Estadística, se puede realizar una estimación puntual, un procedimiento de estimación en el que se estima el parámetro mediante un solo valor muestral.

Siendo que las estadísticas varían de muestra a muestra pero los parámetros son fijos, se considera $\overline{x}={\hat{\mu }}_x\ne {\mu }_x$, donde ${\hat{\mu }}_x$ es el parámetro estimado.

Estimador No Viciado: es aquél cuya esperanza da el parámetro a estimar. Si $E(\overline{x})={\mu }_x⟹\overline{X}$ es un estimador no viciado. Como referencia, $M_e$ y $M_o$ sí son estimadores viciados.

$$\begin{array}{rl}E(S_x^2)& =E\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2\right)\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E((x_i-{\mu }_x{)}^2-E((\overline{x}-{\mu }_x{)}^2)\\ & =\frac{1}{n}\sum {\sigma }_x^2-\frac{{\sigma }_x^2}{n}\\ E(S_x^2)& ={\sigma }_x^2\left(\frac{n-1}{n}\right)\end{array}$$

Se observa que si $n\to \infty ⟹\frac{n-1}{n}\to 1⟹$ solo se debe corregir si $n\le 30$ (un $n$ menor a treinta no se lo considera suficientemente grande). Se define una varianza corregida $S_c^2$:

$S_c^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{x=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2⟹S_c^2=\frac{n}{n-1}{S}_x^2$