Corriente Eléctrica

La corriente eléctrica es la Cargas Eléctricas que atraviesa una sección transversal $S$ en el tiempo $t$:

$I=\frac{Q}{t}=\frac{dQ}{dt};[\text{Ampere }A]=\frac{[\text{Coulomb }C]}{[\text{segundo}]}$

El sentido convencional de la corriente eléctrica es opuesto al sentido del movimiento real de los electrones.

$I$ en Ampere	Efectos
0.001	Se puede sentir
0.005	Doloroso
0.010	Contracciones musculares involuntarias (espasmos)
0.015	Pérdida del control muscular
0.070	Si pasa por el corazón, trastornos graves

Densidad de Corriente Eléctrica

La densidad de corriente eléctrica $\vec{j}$ es la corriente eléctrica por unidad de superficie. Es un vector con dirección y sentido iguales al vector superficie.

$j=\frac{I}{A}⟹I=jA=\int \vec{j}d\vec{A}$

La velocidad de deriva ${\vec{v}}_d$ es la velocidad a la que se mueve el electrón dentro del conductor. Está relacionada con la corriente macroscópica $I$. La distancia $l=v_d\Delta t$ es la distancia que los electrones viajan en el tiempo $\Delta t$. El volumen $V=Al=A{V}_d\Delta t$ es el volumen que los electrones atraviesan en el tiempo $\Delta t$. La cantidad de electrones libres por unidad de volumen es $n=\frac{N}{V}$.

La carga total $\Delta Q$ es $\Delta Q=(\text{nro cargas N})\times (\text{carga por partıˊcula})=(nV)(-e)=-nA{v}_d\Delta te$.

La corriente $I$ en el alambre es $I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=-neA{v}_d$, y la densidad de corriente $\vec{j}$ en el alambre es $\vec{j}=\frac{I}{A}=-ne{\vec{v}}_d$.

Ecuación de Continuidad

Relaciona la densidad de corriente $j$ con la densidad de carga $\rho$. Si la densidad de carga en $V$ es $\rho (x,y,z,t)$, entonces $Q={\int }_V\rho (x,y,z,t)dV\wedge I=\frac{dQ}{dt}={\int }_v\frac{\partial \rho (x,y,z,t)}{\partial t}dV$. Dado que $V$ es arbitrario, se elije uno tal que $\frac{\partial \rho }{\partial t}+\vec{\nabla }\vec{J}=0$.

$$\begin{array}{rl}I=\frac{dQ}{dt}=-\oint \vec{J}d\vec{s}=-{\int }_v\vec{\nabla }\vec{J}dV={\int }_v\frac{\partial \rho }{\partial t}dV⟹{\int }_v\left(\frac{\partial \rho }{\partial t}+\vec{\nabla }\vec{J}\right)dV=0⟹\frac{\partial \rho }{\partial t}+\vec{\nabla }\vec{J}& =0\\ \vec{\nabla }\vec{J}& =-\frac{\partial \rho }{\partial t}\end{array}$$

Se deduce que solo hay flujo de corriente eléctrica si la cantidad de carga varía con el tiempo.

Modelo Clásico de un Conductor

${\vec{F}}_e$ es generada por el Campo Eléctrico $\vec{E}$. ${\vec{F}}_r$ es el rozamiento de $q$ al “chocar” con otras cargas. Dado ${\vec{F}}_e=q\vec{E}$ y ${\vec{F}}_r=-k\vec{v}$, entonces $\vec{F}={\vec{F}}_e-{\vec{F}}_r=q\vec{E}-k\vec{v}=m\vec{a}=m\frac{d\vec{v}}{dt}⟹\frac{q}{m}E=\frac{dv}{dt}+\frac{k}{m}v$.

Sea $\tau$ el tiempo medio de relajación $\tau =\frac{m}{k}$. Si $t$ es muy grande, entonces $v_{lim}=\frac{qE}{k}=\frac{qE}{m}\tau$.

Sea $\sigma$ la conductividad del material $\sigma =\frac{n{q}^2\tau }{m}$. Se define la Ley Microscópica de Ohm:

$J=nqv=nq\frac{qE}{m}\tau =\left(\frac{n{q}^2\tau }{m}\right)E⟹\vec{J}=\sigma \vec{E}$

Si $\sigma =\frac{1}{\rho }⟹\vec{J}=\frac{\vec{E}}{\rho }$, donde $\rho$ es la resistividad del material.

Corriente Continua y Alterna

La corriente eléctrica puede ser:

1. Continua: circula en un único sentido. Puede ser constante o variable. Ej: pilas, baterías.
2. Alterna: cambia periódicamente de sentido. Ej: la que se usa en los hogares y fábricas.