Medidas de Dispersión

En Estadística, las medidas de dispersión complementan a las Medidas de Posición, indicando el alejamiento de los valores de la variable respecto de algún valor de referencia. Amplían la información referida al conjunto de datos bajo estudio.

Rango: el rango $R$ es la diferencia entre los valores extremos del conjunto de datos ordenados, de manera que $R=x_M-x_m$. Sirve para agrupar los datos.

Desvío medio: es el promedio de los desvíos. $DM=\frac{1}{n}\sum |x_i-\overline{x}|$.

Varianza: para datos no agrupados es $S_x^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\overline{x}{)}^2$, mientras que para datos agrupados se usa una fórmula ponderada $S_x^2=\frac{1}{n}{f}_i\sum (x_i-\overline{x}{)}^2$ debido a que incluye la frecuencia absoluta.

Desvío estándar: $S_x={\sqrt{S}}_x^2$.

Coeficiente de variación: es la única medida no absoluta, sirve para comparar distintos conjuntos de datos. $C{V}_x=\frac{S_x}{\overline{x}}\cdot 100$. Se considera bueno un $C{V}_x<50\%$, pero puede ser mayor al 100%.

Rango semi-intercuartílico: se considera que muestra el “recorrido” de los datos. $Q=\frac{Q_3-Q_1}{2}$.

Asimetría: $As=\frac{\overline{x}-M_o}{S_x}\approx \frac{3(\overline{x}-M_e)}{S_x}$. Heurísticamente, cuando se cumple $-0.2\le As\le 0.2$ conviene usar la media aritmética, sino, conviene más usar la mediana o la moda.

Asimetría basada en los cuartiles: $A{s}_q=\frac{Q_3-2Q_2+Q_1}{Q_3-Q_1}$.

Propiedades de la Varianza

1. La varianza de un conjunto definido de datos es un valor constante mayor o igual a cero.
2. La varianza de una constante es cero: $S_x^2=\frac{1}{n}\sum (a-\overline{a}{)}^2=\frac{1}{n}\sum (a-a{)}^2=0$.
3. La varianza es una medida mínima si se la copara con otra medida que no se calcule con la media aritmética.
4. a) Sea $d_i=x_i\pm A⟹S_d^2=S_x^2$ tal que la varianza se mantiene igual.
5. b) Sea $d_i=c\cdot x_i⟹S_d^2=c^2{S}_x^2$ tal que la varianza se multiplica por el cuadrado de la constante.
6. Sea $d_i=x_i+y_i⟹S_d^2=S_x^2+S_y^2+2S_{xy}=V(x)+V(y)+2\cdot \text{Cov}(x,y)$, donde la covarianza es $\text{Cov}(x,y)=\frac{1}{n}\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=\frac{\sum x_i\cdot y_i}{n}-\overline{x}\cdot \overline{y}$.

Variable Estandarizada

La variable estandarizada $z_i$ se obtiene a partir de la transformación algebráica, $z_i=\frac{x_i-\overline{x}}{S_x}$, donde $S_x$ es el desvío estándar, una de las medidas de dispersión más utilizadas.