Correlación Lineal

En el Ajustamiento Lineal, el coeficiente de correlación lineal $r$ permite medir de forma directa el grado de relación lineal entre dos variables $X_i$ e $Y_i$.

$$\begin{array}{rl}r=\frac{\text{cov}(x,y)}{DS(x)\cdot DS(y)}=\frac{S_{xy}}{S_x{S}_y}=\frac{\frac{1}{n}\sum (X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum (X_i-\overline{X}{)}^2}\sqrt{\frac{1}{n}\sum (Y_i-\overline{Y}{)}^2}}& =\frac{\frac{\sum X_i{Y}_i}{n}-\overline{X}\overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sum X_i^2}{n}-{\overline{X}}^2}\sqrt{\frac{\sum Y_i^2}{n}-{\overline{Y}}^2}}\\ r& =\frac{\sum x_i{y}_i}{\sqrt{\sum x_i^2}\sqrt{\sum y_i^2}}\end{array}$$

Pero ahora, recordando que el Método de los Mínimos Cuadrados abreviado define los coeficientes $b_1^{\prime }=b_1=\frac{\sum x_i{Y}_i}{\sum x_i^2}=\frac{\sum x_i{y}_i}{\sum x_i^2}$ y $b_2^{\prime }=b_2=\frac{\sum x_i{y}_i}{\sum y_i^2}$, se las multiplica:

$b_1\cdot b_2=\frac{(\sum x_i{y}_i{)}^2}{\sum x_i^2\sum y_i^2}=r^2⟹r=\pm \sqrt{b_1{b}_2}$ Donde $-1\le r\le 1$. Se concluye que las rectas de ajustamiento ${\hat{Y}}_i$ y ${\hat{X}}_i$ tienen el mismo signo, el cual por convención también coincide con el signo de $r$. Si $r>0$, hay una relación directa. Si $r<0$, hay una relación inversa.

Variaciones

Sea un punto particular $(X_i,Y_i)$ para el cual la desviación total es la distancia vertical $Y_i-\overline{Y}$ y la variación total es $VT=\sum (Y_i-\overline{Y}{)}^2$. Nótese que $fracVTn=S_y^2$, siendo $S_y^2$ la variancia de $Y_i$.

La desviación explicada por el modelo de ajustamiento es la distancia vertical ${\hat{Y}}_i-\overline{Y}$, y la variación explicada es $VE=\sum ({\hat{Y}}_i-\overline{Y}{)}^2$, de la cual se deriva la variación no explicada $\overline{VE}=\sum (Y_i-{\hat{Y}}_i{)}^2$.

Las tres variaciones son positivas, de manera que $VT=VE+\overline{VE}$.

Recordando que $a_1^{\prime }=\overline{Y}$ y $b_1^{\prime }=b_1=\frac{\sum x_y{y}_i}{\sum x_i^2}$, se multiplica y divide $b_1\cdot b_2$ por $\sum x_i^2$. Se sabe que ${\hat{Y}}_i-\overline{Y}=b_1{x}_i$.

$r^2=\frac{(\sum x_i{y}_i{)}^2\sum x_i^2}{(\sum x_i^2{)}^2\sum y_i^2}=\frac{b_1^2\sum x^2}{\sum y_i^2}=\frac{\sum ({\hat{Y}}_i-\overline{Y}{)}^2}{\sum (Y_i-\overline{Y}{)}^2}=\frac{VE}{VT}$

Donde $r^2$ es el coeficiente de determinación, que indica el porcentaje de la variación total explicada por el modelo lineal. Determina la calidad del ajuste. Se cumple que $0\le r^2\le 1$.

• $0.81\le r^2\le 1$ es muy bueno.
• $0.64\le r^2\le 0.81$ es bueno.
• $0.49\le r^2\le 0.64$ es regular.