Distribución Normal

La distribución normal o de Gauss-Laplace:

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$

Para $-\infty <x<\infty$, $E(x)=\mu$, $V(x)={\sigma }^2$.

En la práctica no se calculan las probabilidades, sino que se utiliza una tabla de la variable estandarizada $z$:

$z=\frac{x-{\mu }_x}{{\sigma }_x}\text{ tal que }f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}$

Los valores en esta tabla se pueden buscar de manera directa o de manera inversa.

Se calcula la esperanza $E(z)=\overline{z}=E_z={\mu }_z$:

$E(z)=E\left(\frac{x-{\mu }_x}{{\sigma }_x}\right)=\frac{1}{{\sigma }_x}\underset{E(x)={\mu }_x⟹0}{\underbrace{[E(x)-{\mu }_x]}}⟹E(z)=0$

Ahora, la varianza $V(z)$:

$V(z)=E((z-E(z){)}^2)=E(z{)}^2=E\left[\frac{(x-{\mu }_x{)}^2}{{\sigma }_x^2}\right]=\frac{1}{{\sigma }_x^2}E\left[(x-E(x){)}^2\right]=\frac{\cancel{{\sigma }_x^2}}{\cancel{{\sigma }_x^2}}⟹V(z)=1$