Números Complejos

Los números complejos se describen de forma binomial como:

$z=a+bi$

Con su parte real $\text{Re}(z)=a$ y su parte imaginaria $\text{Im}(z)=b$. Se definen:

1. Suma: $z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$.
2. Multiplicación: $z_1\cdot z_2=(a_1\cdot a_2-b_1\cdot b_2)+(a_1\cdot b_2+b_1\cdot a_2)$.
3. Conjugado: si $z=(a;b)⟹\overline{z}=(a;-b)$.
4. Módulo: si $z=a+bi⟹|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.
5. División: $\frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1+b_{1}i}{a_2+b_{2}i}\frac{a_2-b_{2}i}{a_2-b_{2}i}=\frac{(a_1{a}_2+b_1{b}_2)+(b_1{a}_2-a_1{b}_2)i}{a_2^2+b_2^2}$.
6. Argumento: si $z=(a;b)⟹\theta =\arctan \frac{b}{a}$.
7. Raíces: $\sqrt[n]{z}=z^{\frac{1}{n}}=|z^{\frac{1}{n}}|\cdot \text{cis}(\frac{\theta +2k\pi }{n})$, con $o\le k<n$.
8. Potencias: $z^n=|z{|}^n\cdot \text{cis}(n\theta )$.

Otras formas de definir un número complejo:

• Forma Trigonométrica: $z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )$.
• Forma Polar: $z=|z{|}_{\theta }=(|z|;\theta )$.

Se cumple que:

• $z=|z|\cdot e^{i\theta }$.
• $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$.
• $\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}=\sin \theta$.
• $\frac{e^{i\theta }-e^{i\theta }}{2}=\cos \theta$.

Identidades trigonométricas útiles:

• $\sin (x+y)=\sin (x)\cos (y)+\cos (x)\sin (y)$.
• $\cos (x+y)=\cos (x)\cos (y)-\sin (x)\sin (y)$.
• $\sin (x-y)=\sin (x)\cos (y)-\cos (x)\sin (y)$.
• $\cos (x-y)=\cos (x)\cos (y)+\sin (x)\sin (y)$.
• $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$.
• $\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)$.