Función de Transferencia

La función de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo se define como la razón de la Transformada de Laplace de la salida del sistema a la transformada de Laplace de la entrada del sistema, bajo el supuesto de que todas las condiciones iniciales son cero (el sistema está en un estado de reposo).

Sea un sistema lineal invariante en el tiempo caracterizado por una ecuación diferencial de la forma:

$a_n\frac{d^{n}x}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}x}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_{0}x=b_m\frac{d^{m}u}{d{t}^m}+\cdots +b_{0}u$

Se aplica Laplace y se obtiene:

$$\begin{array}{rl}(a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{s-1}+\dots a_0)Y(s)& =(b_m{s}^m+\cdots +b_0)X(s)\\ Y(s)& =\frac{b_m{s}^m+\cdots +b_0}{a_n{s}^n+\dots a_0}X(s)\\ Y(s)& =\frac{B(s)}{A(s)}X(s)\end{array}$$

Donde $\frac{B(s)}{A(s)}$ es la función de transferencia del sistema. $A(s)=0$ es la ecuación característica del sistema, y su orden es el orden del sistema. Sus raíces son los polos de la función de transferencia. Las raíces de $B(s)=0$ son los ceros de la función de transferencia.

$F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=k\frac{(s-z_1)(s-z_2)\dots (s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\dots (s-p_n)}$

Es común trabajar con Números Complejos.