Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, definido en forma normal:

$$\begin{array}{rl}\frac{d{x}_1}{dt}& =a_{11}(t)x_1+a_{12}(t)x_2+\cdots +a_{1n}(t)x_n{f}_1(t)\\ \frac{d{x}_2}{dt}& =a_{21}(t)x_1+a_{22}(t)x_2+\cdots +a_{2n}(t)x_n{f}_2(t)\\ ⋮& \\ \frac{d{x}_n}{dt}& =a_{n1}(t)x_1+a_{n2}(t)x_2+\cdots +a_{nn}(t)x_n{f}_n(t)\end{array}$$

Suponiendo que $a_{ij}(t)$ y $f_i(t)$ son continuos en un intervalo $I$. Si todas las $f_i$ son cero, se considera que el sistema lineal es homogéneo. Trabajando de forma matricial, se expresa el sistema como:

$X^{\prime }=A\cdot X+F$

El vector solución es cualquier $$\begin{gathered} X=\left(\text{matrix}{x}_1(t) \\ ⋮ \\ {x}_n(t)\right) \end{gathered}$$ que satisfaga el sistema de EDOs en el intervalo $I$.

El principio de superposición dice que si $X_1,X_2,\dots ,X_k$ son soluciones de un sistema homogéneo en $I$, entonces $X=c_1{X}_1+c_2{X}_2+\cdots +c_k{X}_k$ también lo es.

Solución General de Sistemas Homogéneos

La solución general de sistemas homogéneos, siendo $X_1,\dots ,X_n$ un conjunto fundamental de soluciones, es:

$X=c_1{X}_1+c_2{X}_2+\cdots +c_n{X}_n$

Para sistemas no homogéneos, una solución particular $X_p$ en el intervalo $I$ es un vector libre cuyos elementos son funciones que satisfacen al sistema, y $X=X_c+X_p$, siendo $X_c$ la solución general del sistema homogéneo asociado o función complementaria del sistema no homogéneo.

Sean ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ valores propios reales y distintos de la matriz de coeficientes $A$ de un sistema homogéneo, y sean $K_1,K_2,\dots ,K_n$ los autovectores correspondientes. Entonces, la solución general es:

$X=c_1{K}_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+c_2{K}_2{e}^{{\lambda }_{2}t}+\cdots +c_n{K}_n{e}^{{\lambda }_{n}t}$

Para un sistema lineal homogéneo de primer orden $X^{\prime }=AX$, una solución es de la forma $X=c_1{X}_1+c_2{X}_2$ con $X_i=K_i{e}^{{\lambda }_{i}t}$ para $i=1,2$.

$$\begin{array}{rl}\text{si }X=K{e}^{\lambda t}⟹X^{\prime }& =K\lambda e^{\lambda t}\\ \text{y }{X}^{\prime }& =AX\\ \text{substituyendo: }K\lambda e^{\lambda t}& =AK{e}^{\lambda t}\\ \lambda K& =AK\\ (A-\lambda I)K& =0⟹\text{det}(A-\lambda I)=0\text{ si existe una solucioˊn no trivial}\end{array}$$

Donde $(A-\lambda I)K=0$ es la ecuación matricial, y $\text{det}(A-\lambda I)=0$ es la ecuación característica.

Autovalores Reales Iguales

Supongamos ${\lambda }_1$ de multiplicidad 2, y que solo hay un autovector relacionado con este autovalor. Entonces, debemos construir una segunda solución de la forma $X=c_1{X}_1+c_2{X}_2$ con:

$$\begin{array}{c}{X}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k_1}{k_2}\right)e^{{\lambda }_{1}t}=K{e}^{\lambda t}\\ X_2=Kt{e}^{{\lambda }_{1}t}+P{e}^{{\lambda }_{1}t}\\ (A-{\lambda }_{1}I)K=0\\ (A-{\lambda }_{1}I)P=K\end{array}$$

Autovalores Complejos

Sea $A$ la matriz de coeficientes con elementos reales de un sistema homogéneo, y $k_1$ un autovector correspondiente al autovalor complejo ${\lambda }_1=\alpha +i\beta$, entonces $K_1{e}^{{\lambda }_{1}t}$ y ${\overline{K}}_1{e}^{{\overline{\lambda }}_{1}t}$ son soluciones.

Sea ${\lambda }_1=\alpha +i\beta$ un valor propio complejo de la matriz de coeficientes $A$ de un sistema homogéneo, y sean $B_1=\text{Re}(k_1)$ y $B_2=\text{Im}(k_1)$, entonces:

$$\begin{array}{r}{X}_1=[B_1\cos (\beta t)-B_2\sin (\beta t)]e^{\alpha t}\\ X_2=[B_2\cos (\beta t)-B_1\sin (\beta t)]e^{\alpha t}\end{array}$$

Donde $X_1$ y $X_2$ son soluciones.

Matriz Fundamental

Si $X_1,X_2,\dots ,X_n$ es un conjunto fundamental de soluciones de $X^{\prime }=AX$ en $I$, su solución general es la combinación lineal $X=c_1{X}_1+c_2{X}_2+\cdots +c_n{X}_n$ que se puede expresar matricialmente como:

X = \phi (t) \cdot C \ \text{ con } \ C = \left( \matrix{c_1\\ \vdots \\ c_n}\right) \ \text{ y } \ \phi (t) = \left( \matrix{x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \dots & x_{nn}} \right)

Donde $\varphi (t)$ es la matriz fundamental del sistema.

Para un sistema no homogéneo con solución $X=X_c+X_p$, se tiene que:

$X_p=\varphi (t)\int {\varphi }^{-1}(t)\cdot F(t)dt$