Corriente Alterna

Tipos de Corriente Eléctrica:

1. Continua: va siempre en el mismo sentido y tiene $I$ constante.
2. Unidireccional: mismo sentido pero con $I$ variable.
3. Alterna simétrica: sentido variable. Es periódica y con $I$ media nula.

El concepto de FEM Inducida sirve para construir un generador de corriente alterna sencillo: una espira que gira con velocidad angular constante en un campo magnético uniforme.

A lo largo del tiempo sucede lo siguiente:

Donde la fem alterna viene dada por $V(t)=V\cos (\omega t)=V\cos (2\pi ft)$, donde:

1. $V(t)$: fem o voltaje instantáneo.
2. $V$: valor máximo o amplitud de la fem.
3. $\omega$: pulsación o frecuencia angular igual a $2\pi f$.
4. $f$: número de oscilaciones completas realizadas por segundo. Suele ser 50 Herz.

Y se produce una corriente eléctrica que también varía con el tiempo de forma periódica. La corriente alterna viene dada por $i(t)=I\cos (\omega t)$.

Fasores

Un fasor es un vector que gira en sentido antihorario con frecuencia angular $\omega$. Los fasores representan cantidades alternantes. Un diagrama de fasores permite analizar el funcionamiento del circuito.

Circuito Resistivo

$V(t)=Ri(t)⟹V\cos (\omega t)=RI\cos (\omega t)⟹\text{en fase}$

Circuito Capacitivo

$$\begin{array}{c}V(t)=V\cos (\omega t)\wedge i=\frac{dQ}{dt}\wedge C=\frac{Q}{V}⟹i(t)=\frac{dQ}{dt}=C\frac{dV(t)}{dt}⟹i(t)=-\omega CV\sin (\omega t)\\ i(t)=\omega CV\cos \left(\omega t+\frac{\pi }{2}\right)⟹\text{desfasaje en -90°}\end{array}$$

$V_C$ se retrasa a $I$ en $\frac{\pi }{2}$, lo que bloquea frecuencias bajas. El valor máximo es $I=\omega CV⟹V=\frac{I}{\omega C}$ y se define la reactancia capacitiva $X_C=\frac{1}{\omega C}$ de manera que $V=I{X}_C$ (Ley de Ohm).

Circuito Inductivo

$$\begin{array}{c}V(t)=V\cos (\omega t)\wedge V(t)=L\frac{di}{dt}⟹\frac{di}{dt}=\frac{V}{L}\cos (\omega t)⟹i(t)=\frac{V}{\omega L}\sin (\omega t)\\ i(t)=\frac{V}{\omega L}\cos \left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right)⟹\text{ desfasaje en 90°}\end{array}$$

$V_L$ se adelanta a $I$ en $\frac{\pi }{2}$, lo que bloquea frecuencias altas. Se define la reactancia inductiva $X_L=\omega L$ de manera que $V=I{X}_L$.

Impedancia

Conforme $\omega$ aumenta: $R$ se mantiene constante, $X_C$ baja, y $X_L$ sube.

Sea un circuito RLC en serie, con $V=V_R+V_C+V_L$, queremos determinar la intensidad $I$ y la diferencia de fase $\varphi$:

$$\begin{array}{c}V=\sqrt{V_R^2+(V_L-V_C{)}^2}=\sqrt{(IR{)}^2+(I{X}_L-I{X}_C{)}^2}=I\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}=IZ⟹V=IZ\\ Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}=\sqrt{R^2+{\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}^2}\end{array}$$

Donde $Z$ es la impedancia del circuito, y se mide en ohms ($\Omega$). Entonces:

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V}{Z}\\ \tan (\varphi )& =\frac{V_L-V_C}{R}=\frac{X_L-X_C}{R}\end{array}$$

Se observa que $\varphi$ no depende de $V$.

Valores Eficaces

$$\begin{array}{rl}i=I_0\cos (\omega t)⟹i^2=I_0^2{\cos }^2(\omega t)=I_0^2\frac{1}{2}& (1+\cos (2\omega t))=\frac{1}{2}{I}_0^2+\cancel{\frac{1}{2}{I}^2\cos (2\omega t)}⟹i^2=\frac{1}{2}{I}_0^2\\ {\sqrt{i}}^2=I_{\text{rms}}& =\frac{I_0}{\sqrt{2}}=0.707I_0\\ V_{\text{rms}}& =\frac{V_0}{\sqrt{2}}=0.707V_0\end{array}$$

Donde $I_{\text{rms}}$ es el valor eficaz de la corriente alterna: es el valor que tendría que tener una corriente continua para producir la misma potencia.

En un circuito RLC, solo se disipa potencia en la $R$. Por la fem alterna:

$P(t)=\frac{V_0\cos (\omega t){)}^2}{R}=vi$

Potencia media de una Resistencia Eléctrica: $P_{\text{med}}=\frac{1}{2}VI=\frac{V}{\sqrt{2}}\frac{I}{\sqrt{2}}⟹P_{\text{med}}=V_{\text{rms}}{I}_{\text{rms}}$.

Potencia media de un Capacitor y una inductancia: la mitad del tiempo es positiva, y la otra mitad del tiempo es negativa, por lo que $P_{\text{med}}=0$.

Potencia media de un circuito de corriente alterna:

$$\begin{array}{rl}p=vi=V\cos (\omega t+\theta )I\cos (\omega t)=V(\cos (\omega t)\cos (\theta )-\sin (\omega t)\sin (\theta ))I\cos (\omega t)& ⟹\\ VI\cos (\theta ){\cos }^2(\omega t)-VI\sin (\theta )\cos (\omega t)\sin (\omega t)& ⟹\\ P_{\text{med}}=\frac{1}{2}VI\cos \theta & ⟹\\ P_{\text{med}}=V_{\text{rms}}{I}_{\text{rms}}\cos (\theta )& \end{array}$$

Donde $\theta$ es el factor de potencia del circuito, respetando $\cos \theta =\frac{R}{Z}$.

• Si $\theta =0°⟹\cos \theta =1⟹P_{\text{med}}=V_{\text{rms}}{I}_{\text{rms}}$. Se cumple que $V_L=V_C$.
• Si $\theta =90°⟹\cos \theta =0⟹P_{\text{med}}=0$. No hay $V_R$.

Potencia Activa, Reactiva, y Aparente

$$\begin{array}{rl}\begin{array}{l}{I}_a=I\cos \phi \\ I_r=I\sin \phi \end{array}\}{I}^2& =I_a^2+I_r^2\\ P& =V{I}_a=VI\cos \phi [\text{Watt}]\\ Q& =V{I}_r=VI\sin \phi [\text{V A r}]\\ S=VI=V\sqrt{I_a^2+I_r^2}=\sqrt{P^2+Q^2}⟹S^2& =P^2+Q^2[\text{V A}]\end{array}$$

1. Potencia Activa $P$: es la disipada por resistencias en el circuito. Se vuelve calor o trabajo.
2. Potencia Reactiva $Q$: no es consumida y aparece cuando hay capacitores o bobinas.
3. Potencia Aparente $S$: es la suma vectorial $S^2=P^2+Q^2$.

Resonancia

Al cambiar la frecuencia, cambian $X_L$, $X_C$, $Z$, y $\varphi$. La impedancia $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$ es mínima cuando $X_L=X_C⟹\omega L=\frac{1}{\omega C}⟹\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}}$. A esta frecuencia $\omega$ la impedancia solo es resistiva. Se dice entonces que el circuito es resonante cuando $Z=R$, con el ángulo de fase $\theta =0°$ y la corriente máxima $i_m=\frac{{\epsilon }_m}{R}$.