Modelos Matemáticos de Sistemas de Control

Los modelos matemáticos son ecuaciones que representan las relaciones entre la entrada y la salida de un sistema. Se establecen de acuerdo con las leyes físicas que gobiernan el funcionamiento de los bloques funcionales del Sistema de Control.

Los SC se pueden modelar matemáticamente para describir su comportamiento. Tiene elementos:

• Pasivos: resistores, capacitores, e inductores. no requieren alimentación.
• Activos: requieren alimentación eléctrica para operar.

En general, los modelos en el dominio del tiempo involucran ecuaciones diferenciales difíciles de solucionar. Se busca encontrar una Función de Transferencia del sistema, la cual explica su comportamiento desde el dominio de las frecuencias, lo cual resulta más sencillo:

• Transformada de Laplace Aplicada a los Sistemas de Control.
• Transformada Z Aplicada a los Sistemas de Control.

Lazo Abierto vs Lazo Cerrado

Los sistemas pueden ser de:

• Lazo abierto: la salida no se mide ni se retroalimenta (no afecta a la acción de control). La precisión del sistema depende de la calibración. No hay trayectoria de retroalimentación.
• Lazo cerrado: cada subsistema en el sistema global tiene su propia función de transferencia.

	Lazo abierto	Lazo cerrado
Perturbación externa	Relativamente afectado	Prácticamente insensible
Componentes internos	De costo medio-alto	De bajo costo
Estabilidad	Fácil de lograr	Problema importante
Cantidad de componentes	Escasa	Importante
Potencia o amplificación	Solo limitada por el diseño	Moderada a baja

Perturbaciones Externas

• En sistemas de lazo abierto: la perturbación se arrastra.

$S_0=T_2(T_1{S}_i+P)=T_2{T}_1{S}_i+\underset{\text{error}}{\underbrace{T_{2}P}}$

• En sistemas de lazo cerrado: presentan mejor performance y control.

Sensibilidad a los Cambios

• En sistemas de lazo abierto: la función de transferencia es $\text{FT}=T_1{T}_2{T}_3$. Si un elemento cambia un $\Delta$, entonces la función será ${\text{FT}}^{\prime }=\Delta T_1{T}_2{T}_3$.
• En sistemas de lazo cerrado: $\text{FT}=\frac{T_1{T}_2{T}_3}{1+R{T}_1{T}_2{T}_3}$. Si un elemento cambia un $\Delta$, entonces la función será $\text{FT}=\frac{T_1{T}_2{T}_3}{1+R\Delta T_1{T}_2{T}_3}$.

La principal diferencia es el trayecto de realimentación, que reduce la sensibilidad ante perturbaciones externas y cambios no deseados en los componentes, pero se pierde ganancia y tiene una probabilidad de ser inestable.

La conversión analógico-digital permite trabajar con señales digitales para acotar los errores. Consiste en tres pasos:

1. Muestreo con PAM.
2. Cuantificación.
3. Codificación.