Error en Estado Estable de los Sistemas de Control

La respuesta de un Sistema de Control es:

• Transitoria: sucede primero, y se busca que sea mínima.
• Estable: es la deseada, se debe mantener a lo largo del tiempo.

La rapidez de respuesta del SC está relacionada con la duración del estado transitorio.

Una característica importante de los SC en estado estable es el error que presentan en régimen permanente. El error es una medida de la precisión de un SC: $E(s)=S_i(s)-S_o(s)$.

En un sistema de lazo abierto, el error en estado estable es la diferencia entre el valor de salida deseado y el realmente obtenido.

$\text{Si }T(s)=\frac{S_o(s)}{S_i(s)}⟹S_o=T(s)S_i(s)\wedge E(s)=S_i(s)-S_o(s)⟹E(s)=S_i(s)\cdot (1-T(s))$

Por ende, el error en lazo abierto depende de la señal de entrada y de la Función de Transferencia. Para un sistema de lazo cerrado con retroalimentación unitaria:

$\frac{S_o(s)}{S_i(s)}=\frac{T^{\ast }(s)}{1+T^{\ast }(s)}⟹E(s)=S_i(s)-S_i(s)\frac{T^{\ast }(s)}{1+T^{\ast }(s)}⟹E(s)=\frac{S_i(s)}{1+T^{\ast }(s)}$

Para calcular el error en estado estable (cuando $t⟶\infty$) se asume que desaparecieron todos los efectos transitorios de la respuesta.

El teorema del valor final para la Transformada de Laplace dice que ${\lim }_{s\to 0}S\ast F(s)={\lim }_{t\to \infty }f(t)$. El error en estado estable de un SC depende del valor de la siguiente expresión:

$e_s={\lim }_{s\to 0}S\ast E(s)$

Analizando según el valor de la función transferencia en lazo abierto $T^{\ast }(s)$:

$\text{Sea }{T}^{\ast }(s)=\frac{k(s^m+a_{m-1}{s}^{m-1}+\cdots +a_{1}s+a_0)}{s^q(s^n+b_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +b_{1}s+b_0)}\text{ con }{a}_0,b_0\ne 0\wedge k\text{ cte}\wedge m,q,n\in \mathbb{Z}$

El tipo de sistema es igual a la cantidad de términos $s$ independientes en el denominador de $T^{\ast }(s)$. El error depende del tipo de sistema. También influye la señal de entrada $S_i(s)$.

Por ejemplo, analizamos el error para una $T^{\ast }(s)$ de tipo uno cuando la entrada es una señal escalón: si $T^{\ast }(s)$ es de tipo uno $⟹q=1⟹e_s={\lim }_{s\to 0}s\frac{1}{1+T^{\ast }(s)}{S}_i(s)\underset{T^{\ast }(s)\to \infty }{\underbrace{⟹}}{e}_s=0$. Por ende, no hay error en estado estable.

Tipo de sistema	Escalón	Rampa	Parábola
$0$	$\frac{1}{1+k_p}$	$\infty$	$\infty$
$1$	$0$	$\frac{1}{k_p}$	$\infty$
$2$	$0$	$0$	$\frac{1}{k_p}$
$3$	$0$	$0$	$0$

Perturbaciones

Los sistemas reales también presentan perturbaciones que pueden ser endógenas o exógenas.

$$\begin{array}{rl}{e}_{s_i}(s)& :\text{error cuando }{s}_i(s)\ne 0\wedge P(s)=0\\ e_p(s)& :\text{error cuando }{s}_i(s)=0\wedge P(s)\ne 0\\ e_t(s)& =e_{s_i}(s)+e_p(s)\end{array}$$

Por ejemplo:

$$\begin{array}{rl}{e}_s& =\underset{s\to 0}{\lim }S\ast E(s)=\underset{s\to 0}{\lim }S\ast \frac{S_i(s)}{1+T_1(s)T_2(s)}\\ e_p& =\underset{s\to 0}{\lim }S\ast E(s)=\underset{s\to 0}{\lim }S\ast \left(\frac{P(s)}{1+\frac{T_2(s)}{1+T_2(s)T_1(s)}}\right)\\ e_t(s)& =e_s(s)+e_p(s)\end{array}$$