Cálculo del Tamaño de la Muestra

En la Teoría de la Estimación Estadística, el cálculo del tamaño de la muestra permite determinar el tamaño aceptable que debe tener una muestra para un muestreo de calidad. La Teoría de las Muestras dice que una sola muestra es suficiente para realizar una investigación estadística, siempre y cuando su tamaño $n$ sea aceptable.

En Muestreo con Reposición

Se sabe que $\overline{x}\ne {\mu }_x$ pr lo que se puede definir una tolerancia $d=\overline{x}-{\mu }_x$ tal que:

\frac{d}{\sigma_\overline x}=\frac{\overline X - \mu_x}{\sigma_\overline x}=z_I \ \land \ \sigma_\overline x = \frac{\sigma_x}{\sqrt n} \implies z_I = \frac{d}{\frac{\sigma_x}{\sqrt n}} \implies n = \frac{z_I^2 \ \sigma_x^2}{d^2}

Vemos que el tamaño de la muestra depende de:

1. ${\sigma }_x^2$: a mayor variabilidad de la variable, mayor tamaño de la muestra.
2. $z_I^2$: indica el grado de confianza exigido en la estimación. A mayor muestra, mayor confianza. La confianza será $z_I^2=1$ cuando $n\to \infty$.
3. $d^2$: a menor margen de error tolerado, mayor tamaño de la muestra. Si $d=0$, entonces $n=N$.

En Muestreo sin Reposición

Es un caso similar al anterior pero con algunos factores de corrección.

d = \overline X - \mu_x \implies \frac{d}{\sigma_\overline X} = \frac{d}{\frac{\sigma_x}{\sqrt n}\frac{\sqrt{N-n}}{\sqrt {N-1}}} = z_I \implies n = \frac{z^2_I \sigma_x^2 N}{d^2(N-1)+z_I^2\ \sigma_x^2}

Se puede validar que ${\lim }_{N\to \infty }n=\frac{z_I{\sigma }_x^2}{d^2}$, por ende se obtiene la ecuación del caso con reposición.

Nota: el valor de $n$ siempre se redondea hacia arriba.