Serie de Fourier

En el Análisis de Fourier, una función $f(t)$ se dice periódica de período $T$ si $f(t)=f(t+T)\forall t$.

• Una función $f(t)$ es par $⟺f(-t)=f(t)$.
• Una función $f((t)$ es impar $⟺f(-t)=-f(t)$.

La única función tanto par como impar es $f(x)=0$. Para todas se cumple que:

$$\begin{array}{rl}{f}_{\text{par}}\cdot f_{\text{par}}& =f_{\text{par}}\\ f_{\text{impar}}\cdot f_{\text{impar}}& =f_{\text{par}}\\ f_{\text{impar}}\cdot f_{\text{par}}& =f_{\text{impar}}\end{array}$$

Se define una serie de Fourier de la siguiente manera:

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos (n{\omega }_{0}t)+b_n\sin (n{\omega }_{0}t))\\ a_0& =\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt\\ a_n& =\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos (n{\omega }_{0}t)dt\\ b_n& =\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin (n{\omega }_{0}t)dt\\ {\omega }_0& =\frac{2\pi }{T}\end{array}$$

Si $f(t)$ es par, entonces $b_n=0$. Si $f(t)$ es impar, entonces $a_0=a_n=0$.

Desarrollo en Semi-intervalos

Una serie de senos es simétrica al origen (impar):

$b_n=\frac{4}{T}{\int }_0^{\frac{T}{2}}f(t)\sin (n{\omega }_{0}t)dt$

Una serie de cosenos es simétrica al eje de las $y$ (par):

$$\begin{array}{rl}{a}_0& =\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt\\ a_0& =\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos (n{\omega }_{0}t)dt\end{array}$$

Una serie de Fourier es una mezcla de series de senos con series de cosenos.

Las series de Fourier son útiles para representar señales de manera eficiente.