Transformada de Fourier

La transformada de Fourier permite pasar una señal en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia y viceversa (es reversible), para así obtener información que no es evidente en el dominio temporal. Aprovechan el concepto de la Serie de Fourier.

$\mathcal{F}(f(t))=F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot e^{-j\omega t}dt$

Esto es útil para las comunicaciones, la detección de compuestos, y el tratamiento digital de imágenes. También sirve para resolver ecuaciones diferenciales, por lo que se usa en el diseño de controladores clásicos de sistemas realimentados.

Ejemplo para $f(t)\{\begin{array}{ll}{e}^{-t}& t>0\\ 0& t<0\end{array}$:

$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t}{e}^{-j\omega t}dt={\int }_0^{\infty }{e}^{-(1+j\omega )t}dt=-\frac{1}{1+j\omega }{\left[e^{-(1+j\omega )t}\right]}_0^{\infty }=\frac{1}{1+jw}$