Transformada de Laplace

La transformada de Laplace transforma una función $f(t)$ en $F(s)$, de forma que es un operador lineal. Se define como:

$L[f(t)]=F(s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$

Se utilizan tablas para las transformadas de funciones típicas. Ejemplos:

$L[c]={\int }_0^{\infty }c\cdot e^{-st}dt={\lim }_{b\to \infty }{\int }_0^{b}c\cdot e^{-st}dt={\lim }_{b\to \infty }\left(-\frac{c}{s}(e^{-sb}-1)\right)=-0+\frac{c}{s}=\frac{c}{s}\text{ para s>0}$

Transformada de una derivada:

$L[f^{(n)}(t)]=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}{f}^{\prime }(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$

Transformada de una integral:

$L[{\int }_0^{\infty }f(t)dt]=\frac{1}{s}{\int }_0^{\infty }f(t)\cdot e^{-st}dt=\frac{1}{s}\cdot F(s)$

Derivada de la transformada:

$L[t^{n}f(t)]=(-1{)}^n{F}^{(n)}(s)=(-1{)}^n\frac{d^n}{d{t}^n}L[f(t)]$

Integral de la transformada:

${\int }_s^{\infty }F(u)du=L\left[\frac{f(t)}{t}\right]$

Producto de Transformadas

Sean $f$ y $g$ funciones continuas por partes en $[0,+\infty )$ para las cuales existen sus transformadas de Laplace $F$ y $G$. Se verifica que $L[f\ast g]=F(s)\cdot G(s)$, aplicando el producto de convolución de $f$ y $g$:

$f\ast g={\int }_0^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

De manera que la transformada del producto de convolución es el producto de las transformadas.

Transformada Inversa de Laplace

Si $L[f(t)]=F(s)$ es la transformada de Laplace, entonces se dice que $f(t)$ es la transformada inversa de Laplace.

Cumple ciertas propiedades:

1. Pluralidad: $L^{-1}$ es un operador lineal. $L^{-1}[af(s)+bg(s)]=a{L}^{-1}[f(s)]+b{L}^{-1}[g(s)]$.
2. Primera propiedad de traslación: $L^{-1}[f(s-a)]=e^{at}\cdot F(t)$.
3. Segunda propiedad de traslación: $L^{-1}[e^{-as}f(s)]=\{\begin{array}{ll}F(t-a)& t>a\\ 0& t<a\end{array}$.
4. Propiedad del cambio de escala: $L^{-1}[f(ks)]=\frac{1}{k}F\left(\frac{t}{k}\right)$.
5. $L^{-1}[f^{(}n)(s)]=(-1{)}^n{t}^{n}F(t)$.
6. $L^{-1}[\int f(u)du]=\frac{F(t)}{t}$.
7. $L^{-1}[sf(s)]=F^{\prime }(t)+F(0)\cdot \delta (t)$, donde $\delta (t)$ es el impulso unitario o función delta de Dirac.