Punto Crítico

En los Sistemas Dinámicos, dada una solución $x(t)=x_0\wedge y(t)=y_0\forall t\in \mathbb{R}$, se define un solo punto $(x_0,y_0)$ que verifica $F(x_0,y_0)=G(x_0,y_0)=0$. Si bien analizaremos los puntos críticos $(0,0)$, el análisis es generalizable a todo el plano.

El punto crítico $(0,0)$ es estable (Estabilidad) si $\forall R>0\exists r>0,r\le R$ tal que toda trayectoria dentro del círculo $x^2+y^2=r^2$ en $t=t_0$ permanece dentro de $x^2+y^2=R^2\forall t>t_0$. Es estable si toda trayectoria cercana al punto permanece cerca luego de un tiempo tendiendo al infinito.

El punto crítico $(0,0)$ es asintóticamente estable si es estable y además $\exists r_0>0$ tal que toda trayectoria dentro de $x^2+y^2=r_0^2$ en $t=t_0$ definida como $C\equiv (x(t),y(t))$ verifica que $x(t)\to 0\wedge y(t)\to 0$ cuando $t\to +\infty$. Es asintóticamente estable si toda trayectoria cercana se aproxima al punto luego de un tiempo tendiendo al infinito.

Se dice que el punto crítico $(0,0)$ es inestable cuando NO es estable.

Sea el sistema $\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=a_{1}x+b_{1}y\\ \frac{dy}{dt}=a_{2}x+b_{2}y\end{array}\end{array}\}=AX$ con $(0,0)$ su único punto crítico. De esto se puede deducir que $|A|\ne 0⟹{\lambda }_1,{\lambda }_2\ne 0$, por lo que podemos usar los autovalores para clasificar analíticamente los puntos de equilibrio de un Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales.

Clasificación de Puntos Críticos en Sistemas Lineales

La naturaleza y estabilidad del punto crítico queda caracterizada por los autovalores de la matriz del sistema. Existen las siguientes clasificaciones:

1. Nodo estable o inestable.
2. Nodo degenerado estable o inestable..
3. Nodo impropio degenerado estable o inestable.
4. Punto espiral estable o inestable.
5. Centro.
6. Punto de silla.