Leyes de Kirchhoff

Ley de las Corrientes: la suma algebraica de las intensidades de corriente en cualquier unión o nodo de un circuito es igual a cero. Las corrientes entrantes son positivas y las salientes son negativas. Esto es análogo a la ley de conservación de las cargas.

Ley de las Mallas: la suma algebraica de las diferencias de potencial que se encuentran al recorrer cualquier malla es igual a cero. Esto es análogo al principio de conservación de la energía.

Las dos Leyes de Kirchhoff sirven para obtener la Corriente Eléctrica de un circuito. Dado un circuito, primero se le debe asignar un sentido arbitrario para la corriente, y establecer un sentido horario o antihorario para recorrer las mallas del circuito. Se debe respetar que:

• Si al recorrer el circuito atravesamos una fem, se la considera positiva si lo hacemos de menor a mayor Potencial Eléctrico (de $-$ a $+$).
• Si al atravesar una Resistencia Eléctrica lo hacemos en el sentido de la corriente, la caída del potencial es negativa (se resta).

Circuitos RC

Carga de un Capacitor

Al inicio de la carga de un Capacitor, en $t=0$ y con la llave $S$ abierta, el capacitor está descargado de manera que $Q(t=0)=0$. Cuando $S$ se cierra se establece una corriente $I$, por lo que $\Delta V$ en el capacitor $C$ aumenta hasta que $\Delta V=\epsilon$.

$$\begin{array}{rl}\epsilon =IR+\frac{Q}{C}\wedge I=\frac{dQ}{dt}& ⟹\\ \epsilon =R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}& ⟹\\ \frac{dQ}{C\epsilon -Q}=\frac{dt}{RC}& ⟹\\ {\int }_0^Q\frac{dQ}{C\epsilon -Q}=\frac{1}{RC}{\int }_0^{t}dt& ⟹\\ -\ln (C\epsilon -Q)+\ln (C\epsilon )=\frac{t}{RC}& ⟹\\ \ln (1-\frac{Q}{C\epsilon })=-\frac{t}{RC}& ⟹\\ 1-\frac{Q}{C\epsilon }=e^{-\frac{t}{RC}}& ⟹\\ Q=C\epsilon (1-e^{-\frac{t}{RC}})& ⟹V_c=\epsilon (1-e^{-\frac{t}{RC}})\end{array}$$

De donde se deduce que $Q_{max}=C\epsilon$ y $V_{c_{max}}=\epsilon$. Se define una constante de tiempo $\tau =RC$ que representa el tiempo requerido para que el capacitor llegue al 63% de su carga y su $V_{c_{max}}$.

Descarga de un Capacitor

Cuando la llave $S$ se cierra, y no hay una fem presente, se establece una corriente $I$ que empieza a descargar al capacitor $C$. La resistencia $R$ va disipando energía eléctrica hasta que $I=0$.

$$\begin{array}{rl}IR=\frac{Q}{C}\wedge I=-\frac{dQ}{dt}& ⟹\\ -\frac{dQ}{dt}R=\frac{Q}{C}& ⟹\\ \frac{dQ}{Q}=-\frac{dt}{RC}& ⟹\\ {\int }_{Q_0}^Q\frac{dQ}{Q}={\int }_0^t\frac{dt}{RC}& ⟹\\ \ln \frac{Q}{Q_0}=\frac{t}{RC}& ⟹\\ Q=Q_0{e}^{-\frac{t}{RC}}& ⟹V_c=V_0{e}^{-\frac{t}{RC}}\end{array}$$

Recordando que $C=cte$, se puede considerar $V_0=\frac{Q_0}{C}$. También se utiliza una constante de tiempo $\tau =RC$ que indica cuándo la carga en el capacitor, el voltaje a través de él, y la corriente de la resistencia, disminuyen al 37% de su valor original.