Potencial Eléctrico

El potencial eléctrico NO es la Energía Potencial Eléctrica. Es una magnitud escalar que se define como:

$V=\frac{U}{q_0};[\text{Voltio }V]=\left[\frac{\text{Joule }J}{\text{Coulomb }C}\right]$

Para una distribución continua de carga:

$V(t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{dq}{r}$

Dado un anillo circular delgado con radio $a$ y una Cargas Eléctricas $Q$ distribuida uniformemente, se determina el potencial eléctrico en e punto $P$ sobre el eje del anillo a una distancia $x$ de su centro:

$V_p=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{dq}{r}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\int dq=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{\sqrt{x^2+a^2}}$

Diferencia de Potencial

La diferencia de potencial se define a partir de la diferencia de energía potencial:

$V_b-V_a=\frac{U_a-U_b}{q_0}\text{ pero }\vec{F}=q_0\vec{E}\wedge \Delta U=-{\int }_a^b\vec{F}d\vec{l}⟹V_B-V_a=-{\int }_a^b\vec{E}d\vec{l}$

Si $\vec{E}=cte⟹V=E\times d$.

Si la diferencia de potencial entre dos placas es 6 V, y una carga +1 C se mueve, entonces gana 6 J al ir a los positivos (al subir la energía potencial eléctrica), y pierde 6 J al ir a los negativos.

Dado $V_{ba}=-{\int }_a^b\vec{E}d\vec{l}$, derivando: $-\frac{dV}{dl}={\vec{E}}_l$, se entiende a $\left|\frac{dV}{dl}\right|$ como el gradiente del Campo Eléctrico $\vec{E}$ en una dirección particular.

Para determinar el campo eléctrico $E$ conociendo el potencial $V$:

$\vec{E}=-\frac{\partial V}{\partial x}\vec{i}-\frac{\partial V}{\partial y}\vec{j}-\frac{\partial V}{\partial z}\vec{k}=-\vec{\nabla }V⟹\vec{E}=\vec{\nabla }V$

1. Ecuación diferencial de Gauss: $\vec{\nabla }\cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$.
2. Ecuación de Poisson: ${\nabla }^{2}V=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$.
3. Ecuación de Laplace: ${\nabla }^{2}V=\frac{{\partial }^{2}V}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial z^2}=0$. Se puede usar en coordenadas cartesianas cuando en la zona de trabajo la densidad de carga $\rho$ es nula.

Superficies Equipotenciales

Una superficie es equipotencial si el potencial tiene el mismo valor en todos sus puntos. Sobre una superficie equipotencial, el trabajo realizado es nulo:

$V_b-V_a=\frac{U_b-U_a}{q_0}=0⟹-W_{ba}=\Delta U=0$

Electronvoltio ($eV$): es la energía que gana o pierde un sistema carga-campo cuando se desplaza una carga de magnitud $e$ (un electrón o un protón) a través de una diferencia de potencial de 1 Volt.

$1eV=1.6\times 10^{-19}C\times 1V=1.6\times 10^{-19}J$