Ley de Biot y Savart

La Ley de Biot y Savart es una ley magnética equivalente a la Ley de Coulomb. La ley enuncia que ante una Corriente Eléctrica $I$ surge un campo Campo Magnético $\vec{B}$.

$\overrightarrow{dB}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\overrightarrow{dl}\times \hat{r}}{r^2};|\overrightarrow{dB}|=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl\sin (\theta )}{r^2};\vec{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\int \frac{\overrightarrow{dl}\times \hat{r}}{r^2}$

Donde ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\frac{Tm}{A}$ es la permeabilidad magnética del vacío.

Campo Magnético Debido a una Corriente Rectilínea

$$\begin{array}{rl}|\overrightarrow{dl}|=dx\wedge \{\begin{array}{l}\tan (\pi -\theta )=-\tan \theta =\frac{R}{x}\\ \sin \theta =\frac{R}{r}\end{array}⟹x=-R\cot \theta & ⟹dx=\frac{R}{{\sin }^2\theta }d\theta \\ dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl\sin \theta }{r^2}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\sin \theta }{\frac{R^{\cancel{2}}}{\cancel{{\sin }^2\theta }}}\frac{\cancel{R}}{\cancel{{\sin }^2\theta }}d\theta & ⟹dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I}{R}\sin \theta d\theta \\ B=\int dB=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi R}{\int }_0^{\pi }\sin \theta d\theta =\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi R}(1+1)& ⟹B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}\end{array}$$

La intensidad del campo magnético $B$ en el punto $P$ depende de la corriente eléctrica y de la distancia al punto.

Campo Magnético Debido a una Corriente Circular

Por simetría en el punto $P$, se cancelan las ${\overrightarrow{dB}}_y$. Las ${\overrightarrow{dB}}_x=dB\cos (\theta );r=\sqrt{R^2+x^2}$. Para hallar el campo a lo largo del eje de la espira:

$$\begin{array}{rl}\cos \theta =\frac{R}{r}=\frac{R}{\sqrt{R^2+x^2}}& ⟹d{B}_x=dB\cos \theta =\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{dl}{{\sqrt{R^2+x^2}}^2}\frac{R}{\sqrt{R^2+x^2}}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{R}{(R^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}dl\\ & ⟹\int d{B}_x=B_x=\frac{{\mu }_{0}I}{2}\frac{R^2}{(R^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}\end{array}$$

Donde el campo en el centro de la espira, cuando $x=0$, es $B_x=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$.

Fuerzas entre Corrientes

Si dos cables están suficientemente cerca, cada uno interactúa con el campo magnético del otro. Dado $\vec{F}=I\vec{d}\times \vec{B}\wedge B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}$ se cumple que:

$$\begin{array}{l}{F}_1=I_{1}l{B}_2\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi a}l\\ F_1=I_{2}l{B}_1\frac{{\mu }_0{I}_2{I}_1}{2\pi a}l\end{array}\}⟹{\vec{F}}_1=-{\vec{F}}_2$$

Si las corrientes eléctricas tienen el mismo sentido, los conductores se atraen. Si las corrientes tienen sentido opuesto, los conductores se repelen.