Transformada Z

Las ecuaciones de diferencias son expresiones que denotan la relación entre las entradas y las salidas de un sistema discreto. Resolverlas implica hallar la respuesta de un Sistema de Control discreto en el campo de las señales discretas. Para esto se utiliza la transformada Z.

Las ecuaciones de diferencias se pueden representar con un Diagrama de Bloques Funcionales:

Sea una función $f^{\ast }(t)$ que describe una secuencia de impulsos $\partial (t)$ separados entre sí por un tiempo $T$, que se consideran muestras de una función escalón unitario:

$f^{\ast }(t)=f(0)\partial (t)+f(1)\partial (t-1T)+\cdots +f(k)\partial (t-kT)$

Aplicamos la Transformada de Laplace, recordando que $\mathcal{L}[\partial (t-T)]=e^{-Ts}$ :

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}[f^{\ast }(t)]& =F\ast (s)=f(0)\cdot 1+f(1)\cdot e^{-Ts}+\cdots +f(k)\cdot e^{-kTs}\\ \mathcal{L}[f^{\ast }(t)]& =F\ast (s)=\sum _{k=0}^{\infty }f(k)\cdot e^{-kTs}\end{array}$$

Ahora, se hace un cambio de variable $z=e^{kTs}$ tal que $s=\frac{1}{T}\cdot \ln z$ :

$Z[f^{\ast }(k)]=F(z)=f(0)\cdot 1+f(1)\cdot z^{-1}+f(2)\cdot z^{-2}+\cdots +f(k)\cdot z^{-k}$

$F(z)$ se denomina la transformada Z de la secuencia de impulsos, donde cada período de retardo da como resultado un impulso multiplicado por $z^{-1}$.

Propiedades Básicas de la Transformada Z

En estos casos, se supone que la entrada $x(t)$ tiene transformada Z $x(z)$ y que $x(t)=0\forall t<0$:

1. Linealidad: si $y(kT)=\alpha \cdot f(kT)+\beta \cdot g(kT)⟹Z[y(kT)]=y(z)=\alpha \cdot f(z)+\beta \cdot g(z)$.
2. Desplazamiento: multiplicar por $z$ equivale a un adelanto $T$ en el tiempo de muestreo.
3. Traslación real: si $n\in \mathbb{N}\wedge n>0⟹Z[x(t-nT)]=z^n\cdot x(z)$.
4. Traslación compleja: $Z[e^{at}\cdot x(t)]=x(z\cdot e^{at})$.
5. Valor final: si $x(z)$ permanece finita, lo cual es la condición de Estabilidad, entonces se cumple que ${\lim }_{k\to \infty }x(kT)={\lim }_{z\to 1}(1-z^{-1})\cdot x(z)$.

Transformada Z de Funciones Básicas

Sea la función escalón unitario $f^{\ast }(t)=1$:

$$\begin{array}{rl}F(z)& =f(0)+f(1)z^{-1}+\cdots +f(k)z^{-k}\\ \text{Si el impulso es unitario: }F(z)& =1+z^{-1}\cdots +z^{-k}\\ \text{Lo cual}& \text{ es una serie geomeˊtrica convergente a }\frac{1}{1-\frac{1}{z}}\\ F(z)& =\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\frac{z}{z-1}\text{ donde }|z|>1\end{array}$$

Ahora, para la función rampa muestreada $f^{\ast }(t)=t$:

$$\begin{array}{rl}F(z)& =0+T{z}^{-1}+\cdots +kT{z}^{-k}\\ \frac{zF(z)}{T}& =1+2z^{-1}+3z^{-2}+\cdots +k{z}^{-k-1}\\ & \text{Es una serie geomeˊtrica convergente a }\frac{1}{{\left(1-\frac{1}{z}\right)}^2}\\ F(z)& =\frac{1}{z{\left(1-\frac{1}{z}\right)}^2}=\frac{Tz}{(z-1{)}^2}\text{ donde }|z|>1\end{array}$$

Transformada Z Inversa

La transformada Z inversa, o antitransformada, de $x(z)$ da la secuencia de tiempo $x(kT)$. A partir de la aplicación de esta antitransformada, solo se obtiene la secuencia temporal de valores correspondientes a los instantes de muestreo del sistema.

Existen infinitas $x(t)$ que originan una secuencia $x(kT)$ que podrían existir en los instantes de tiempo no muestreados. Por esto, la antitransformada Z solo provee valores exactos de $x(t)$ en los instantes de muestreo $x=kT$.

Para calcular la antitransformada, existen diferentes métodos:

• Método de expansión en fracciones parciales.
• Método computacional.
• Método de la división directa.

Esto nos permite entrar y salir de sistemas de control discretos (que usan señales digitales).