Distribución de Poisson

La distribución de Poisson plantea un experimento con $n$ resultados dicotómicos independientes y de probabilidad constante. Las realizaciones del experimento se dan en un intervalo de tiempo continuo, con $n\to \infty$ y $p\to 0$. Se recomienda para $n>30$.

Sea $\lambda =np$ y la probabilidad $P=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^x}{x!}$ que se obtiene al aplicar el límite con $n\to \infty$ a la Distribución Binomial, y luego se debe desarrollar un poco más.

Condición de Cierre

${\sum }_{x=0}^{\infty }\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^x}{x!}=e^{-\lambda }\underset{\text{serie igual a eλ}}{\underbrace{\left[\frac{{\lambda }^0}{0!}+\frac{{\lambda }^1}{1!}+\frac{{\lambda }^2}{2!}+\dots \right]}}=e^{-\lambda }{e}^{\lambda }=1$

Esperanza

$E(x)={\sum }_{x=0}^{\infty }xp(x)={\sum }_{x=1}^{\infty }x\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^x}{x!}={\sum }_{x=1}^{\infty }\cancel{x}\frac{e^{-\lambda }\lambda {\lambda }^{x-1}}{\cancel{x}(x-1)!}=\lambda \underset{\text{=1 (cond de cierre)}}{\underbrace{\cancel{\sum _{x=0}^{\infty }\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^x}{x!}}}}⟹E(x)=\lambda =np$

Varianza

$$\begin{array}{rl}V(x)& =\sum _{x=0}^{\infty }{x}^{2}p(x)-E(x{)}^2=\sum _{x=0}^{\infty }{x}^2\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^x}{x!}-{\lambda }^2\\ \text{reemplazando x2 por x(x−1)+x:}V(x)& =\sum _{x=0}^{\infty }[x(x-1)+x]\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^x}{x!}-{\lambda }^2\\ & =0+0+\sum _{x=2}^{\infty }x(x-1)\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^x}{x!}+\lambda -{\lambda }^2\\ \text{y transformando x!=x(x−1)(x−2)!:}V(x)& ={\lambda }^2\sum _{x=2}^{\infty }\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^{x-2}}{(x-2)!}+\lambda -{\lambda }^2\\ & ={\lambda }^2\underset{\text{=1 (cond de cierre)}}{\underbrace{\cancel{\sum _{x=0}^{\infty }\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^x}{x!}}}}+\lambda -{\lambda }^2\\ & =\cancel{{\lambda }^2}+\lambda -\cancel{{\lambda }^2}\\ V(x)& =\lambda \end{array}$$