Distribución Binomial

La distribución binomial estudiada por el matemático Bernoulli propone un experimento que se realiza $n$ veces de forma independiente con solo dos sucesos dicotómicos posibles: $A$ y $\overline{A}$.

$P(\text{en n realizaciones se da x veces A})=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x}\right)p^x{q}^{n-x}$

Donde $q=1-p$, y $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x}\right)$ es una combinatoria:

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x}\right)=\frac{n!}{x!(n-x)!}$

Sea una secuencia $S_i$ un conjunto de $n$ realizaciones del experimento que resultan en $A$ o $\overline{A}$:

$$\begin{array}{rl}{S}_1& =A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_x\cap {\overline{A}}_{x+1}\cap \cdots \cap {\overline{A}}_n\\ P(S_i)& =P(A_1\cap \cdots \cap {\overline{A}}_n)=P(A_1)\dots P(A_x)P({\overline{A}}_{x+1})\dots P({\overline{A}}_n)\\ P(A)=p\wedge P(\overline{A})=q⟹P(S_1)& =p^x{q}^{n-x}\end{array}$$

Cualquier otra secuencia $S_i$ con $i\ne 1$ va a tener los mismos sucesos pero en distinto orden, por lo que:

$P(\text{en n realizaciones x veces A})=P(S_1\cup \cdots \cup S_j)=P(S_1)+\dots P(S_j)=j{p}^x{q}^{n-x}$

Siendo $j$ las permutaciones con repetición de $n$ elementos, o $n$ elementos tomados de a $x$:

$j=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x}\right)=\frac{n!}{x!(n-x)!}$

Condición de Cierre

Aplicando el binomio de Newton.

${\sum }_{i=1}^N{p}_i=1⟹{\sum }_{i=1}^N\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{i}\right)p^i{q}^{N-i}=(p+q{)}^n=(\cancel{p}+1-\cancel{p}{)}^n=1^n=1$

Esperanza

$$\begin{array}{rl}E(x)& =\sum _{x=0}^n{x}_i{p}_i=\sum _{x=0}^n{x}_i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x}\right)p^x{q}^{n-x}=\sum _{x=1}^{n}x\frac{n!}{x!(n-x)!}{p}^x{q}^{n-x}\\ \text{haciendo x!=x(x−1)!:}E(x)& =\sum _{x=1}^n\cancel{x}\frac{n(n-1)!}{\cancel{x}(x-1)![(n-1-(x-1))]!}p{p}^{x-1}{q}^{(n-1)-(x-1)}\\ \text{sustituyendo X=x−1:}E(x)& =np\underset{\text{igual a 1 por condicioˊn de cierre}}{\underbrace{\cancel{\sum _{X=1}^N\frac{N!}{X!(N-X)!}{p}^X{q}^{N-X}}}}=np\\ E(x)& =np\end{array}$$

Varianza

$V(x)={\sum }_{i=1}^N{x}_i^2{p}_i-E(x{)}^2=\cdots =npq⟹V(x)=npq$