Distribución Hipergeométrica

La distribución hipergeométrica se basa en $n$ realizaciones sin reposición de un experimento, siendo los sucesos condicionales entre sí. Tiene una deducción similar a la Distribución Binomial, con secuencias excluyentes pero esta vez con eventos dependientes.

Sea un total de $N$ items, de los cuales $X$ tienen la característica $A$ :

$P (en n realizaciones, x apariciones) = \frac{( x X ) ( n - x N - X )}{( x N )}$

Se cumplen $N > 0; 0 \geq X \geq N; 1 \geq n \geq N; 0 \geq x \geq n; x \leq X$ .

Condición de Cierre

Partiendo del binomio de Newton para $(1 + x)^{m + n}$ :

(1 + x)^{m + n} (r m + n) (n N) 1 = (1 + x)^{m} (1 + x)^{n} = 1 + (1 m + n) x + (2 m + n) x^{2} + \dots = [1 + (1 m) x + \dots] \cdot [1 + (1 n) x + \dots] = s = 0 \sum r (s n) (r - s m) = x = 0 \sum n (x X) (n - x N - X) = x = 0 \sum n \frac{( x X ) ( n - x N - X )}{( n N )}

Esperanza

Se define un lema 1:

$(b a) = \frac{a}{b} (b - 1 a - 1)$

Para aplicarlo:

E (x) E (x) = x = 1 \sum n x \frac{( x X ) ( n - x N - X )}{( n N )} = x = 1 \sum n x \frac{\frac{X}{x} ( x - 1 X - 1 ) ( n - x N - X )}{\frac{N}{n} ( n - 1 N - 1 )} = n \frac{X}{N} =1 (condici \overset{o}{ˊ} n de cierre) x = 0 \sum m \frac{( z Z ) ( m - z M - Z )}{( m M )} = n \frac{X}{N} = n p = n p

Varianza

$V (x) = n pq \frac{N - n}{N - 1}$

Donde $\frac{N - n}{N - 1}$ se denomina factor de corrección.

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