Distribución Chi-Cuadrado

La distribución Chi-Cuadrado se aplica dada una sucesión $Z_1,$Z_2, \dots, Z_n$devariablesaleatoriasindependientes.Si$Z_i \sim N(0, 1)$:

$Y=Z_1^2+\cdots +Z_n^2={\sum }_{i=1}^n{Z}_i^2={\sum }_{i=1}^n{\left(\frac{x_i-\mu }{\sigma }\right)}^2⟹Y=\frac{\sum (x_i-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}$

Se establece que $Y\sim {\chi }_n^2$ es la distribución chi-cuadrado con $n$ grados de libertad.

Esta distribución tiene la propiedad aditiva: si $Y_1\sim {\chi }_{n_1}^2\wedge Y_2\sim {\chi }_{n_2}^2⟹(Y_1+Y_2)\sim {\chi }_{n_1+n_2}^2$.

La distribución ${\chi }^2$ tiene asimetría positiva, con $E({\chi }^2)=n$ y $V({\chi }^2)=2n$.

Para cualquier $\alpha \in (0,1)$ el valor ${\chi }_{\alpha ,n}^2$ es tal que $P(Y\le {\chi }_{\alpha ,n}^2)=\alpha$.

Ahora, sea una muestra aleatoria $X_1,X_2,\dots ,X_n$ con variancia ${\sigma }^2$ distribuida normalmente, entonces:

${\chi }_v^2=\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2}{{\sigma }^2}=\frac{n{S}_X^2}{{\sigma }^2}=\frac{(n-1)S_c^2}{{\sigma }^2}$

Donde $S_c^2=\frac{n}{n-1}{S}_x^2$ es la varianza corregida $S_c^2\sim {\chi }_v^2$ con $v=n-1$ (un grado de libertad menos).