Interpolación Polinomial

La interpolación polinomial consiste en determinar el polinomio único de grado $n$ que se ajuste perfectamente a $n+1$ puntos, proporcionando una forma para calcular valores intermedios. Existen varias alternativas para ajustar curvas:

1. Polinomio interpolante.
2. Trazadores.
3. Polinomios trigonométricos.
4. Sumas exponenciales.
5. Método de los Mínimos Cuadrados.

Dado un conjunto de $n+1$ puntos, hay un y solo un polinomio de grado $n$ definido como $f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$ que pasa por todos los puntos del conjunto.

Veremos tres métodos para la interpolación.

Forma de Lagrange

La forma de Lagrange calcula el polinomio interpolante de manera explícita.

$P_n(x)=y_0{L}_{n,0}(x)+y_1{L}_{n,1}(x)+\cdots +y_n{L}_{n,n}(x)\text{ para }\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)\}$

Donde $L_{n,k}(x)$ se define como:

$L_{n,k}(x)={\prod }_{\genfrac{}{}{0ex}{}{i=0}{i\ne k}}^n\frac{x-x_i}{x_k-x_i}=\frac{(x-x_0)(x-x_1)\dots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\dots (x-x_n)}{(x_k-x_0)(x_k-x_1)\dots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\dots (x_k-x_n)}$

Para cada punto $(x_i,y_i)$ se pone $y_i$ de coeficiente y se busca $L_{n,i}(x)$ tal que $L_{n,i}(x_i)=1$.

Diferencias Divididas de Newton

Este método genera sucesivamente aproximaciones polinómicas de grado cada vez mayor.

Sean los puntos $(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)$ con abscisas distintas entre sí, y un polinomio interpolador:

$P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+\cdots +a_n(x-x_0)\dots (x-x_{n-1})$

Siendo $a_0=P_n(x_0)=f(x_0)=f[x_0]$. Por ejemplo, para $a_1$:

$P_n(x)=f(x_1)=f(x_0)+a_1(x-x_0)⟹a_1=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=f[x_0,x_1]$

En general, para $k=0,\dots ,n$:

$a_k=f[x_0,\dots ,x_k]=\frac{f[x_1,\dots ,x_k]-f[x_0,\dots ,x_{k-1}]}{x_k-x_0}$

De manera que el polinomio interpolador queda:

$P_n(x)=f[x_0]+{\sum }_{k=1}^{n}f[x_0,\dots ,x_k](x-x_0)\dots (x-x_{k-1})$

La aproximación es sucesiva porque se parte de la diferencia dividida de orden cero $f[x_0]=f(x_0)$. Luego, la de orden 1: $f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$. Luego, la de orden 2: $f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}$. Y así sucesivamente…

Trazadores Cúbicos

Los trazadores cúbicos naturales o cubic splines se utilizan para crear una función interpolante como una unión de polinomios cúbicos, uno para cada intervalo, con derivadas primera y segunda continuas.

Sean $n+1$ puntos $(x_0,y_0)\dots (x_n,y_n)$ con $x_0<\cdots <x_n$, buscamos la función a tramos $f$ que en cada subintervalo $[x_k,x_{k+1}]$ defina un polinomio $S_k(x)$ de grado $\le 3$ de tal manera que los trazadores $S_i(x)$ en $[x_i,x_{i+1}]$ y $S_{i++1}(x)$ en $[x_{i+1},x_{i+2}]$ coincidan en $x_{i+1}$ al igual que sus derivadas primera y segunda. Así, el trazador cúbico $S(x)$ será:

$S(x)\{\begin{array}{ll}{S}_0(x)& x\in [x_0,x_1]\\ ⋮& \\ S_{n-1}(x)& x\in [x_{n-1},x_n]\end{array}$

Donde se cumple que:

$$\begin{array}{rlr}{S}_i(x)& =a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i{)}^2+d_i(x-x_i{)}^3& \forall i=0,1,\dots ,n-1\\ S(x_i)& =y_i& \forall i=0,1,\dots ,n\\ S_i(x_{i+1})& =S_{i+1}(x_{i+1})& \forall i=0,1,\dots ,n-2\\ S_i^{\prime }(x_{i+1})& =S_{i+1}^{\prime }(x_{i+1})& \forall i=0,1,\dots ,n-2\\ S_i^{\prime \prime }(x_{i+1})& =S_{i+1}^{\prime \prime }(x_{i+1})& \forall i=0,1,\dots ,n-2\end{array}$$

Y se satisface una de estas dos condiciones:

• Frontera libre o natural: $S^{\prime \prime }(x_0)=S^{\prime \prime }(x_n)=0$.
• Frontera sujeta: $S^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)\wedge S^{\prime }(x_n)=f^{\prime }(x_n)$.

Para construir el trazador cúbico se buscan los coeficientes $a_i$, $b_i$, $c_i$ y $d_i$ de cada polinomio cúbico $S_i(x)$ a partir de las condiciones que se deben cumplir por definición. Para ello, se resuelve un sistema de ecuaciones $4n\times 4n$.

Los splines cúbicos proporcionan un excelente ajuste a formas complicadas sin requerir cálculos complejos, mientras que los polinomios interpolantes generan interpolaciones con muchas oscilaciones si sucede que hay muchos datos o puntos a interpolar.