Integración Numérica

En la integración numérica, se aproxima el área bajo la curva de una función difícil de integrar o definida por un conjunto de puntos.

Las reglas del trapecio y de Simpson ($1/3$ y $3/8$) son las fórmulas de Newton-Cotes, y son los métodos de integración numérica que analizaremos.

Regla del Trapecio

Sea $f$ continua en $[a;b]$ y $I={\int }_a^{b}f(x)dx\approx {\int }_a^b{f}_1(x)dx$, siendo $f_1$ un polinomio de Lagrange de grado 1.

$I\approx (b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}\text{ con un error }{E}_1(\epsilon )=-\frac{1}{12}{f}^{\prime \prime }(\epsilon )(b-a{)}^3$

Si hubiesen intervalos múltiples, suponiendo que sobre $[a;b]$ hay $n+1$ puntos igualmente espaciados:

$I\approx \frac{(b-a)}{2n}\left[f(x_0)+2{\sum }_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right]\text{ con un error }E\le \left|\frac{(b-a)h^2}{12}{f}^{\prime \prime }(\epsilon )\right|$

Regla de Simpson de $1/3$

La regla de Simpson de $1/3$ o la regla de las parábolas subdivide a $[a;b]$ en $n$ subintervalos (pares) y cada conjunto de dos de ellos se aproxima por una parábola.

$$\begin{array}{rl}A& =\frac{h}{3}(E+4I+P)\\ E& =y_0+y_n\\ I& =y_1+y_3+\cdots +y_{n-1}\\ p& =y_2+y_4+\cdots +y_{n-2}\\ \text{Error}& \le \left|\frac{(a-b)}{180}{h}^4{f}^{(4)}(\phi )\right|\text{ con }\phi \in [a;b]\end{array}$$

Regla de Simpson de $3/8$

La regla de Simpson de $3/8$ aproxima la función con un polinomio de Lagrange de tercer grado.

$$\begin{array}{rl}A& =\frac{3}{8}h[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)]\text{ con }h=\frac{b-a}{3}\\ \text{Error}& \le \left|\frac{(a-b)}{80}{h}^4{f}^{(4)}(\epsilon )\right|\text{ con }a<\epsilon <b\end{array}$$

Se considera que es una mejor aproximación que (o un refinamiento sobre) la regla de Simpson de $1/3$.