Difracción

La difracción es el fenómeno que se produce cuando las Ondas alcanzan un obstáculo o apertura (de dimensión comparable a su propia longitud de onda).

El principio de Huygens dice que todo punto de un frente de onda dado se toma como una fuente puntual que produce ondas esféricas secundarias que se propagan hacia adelante. Luego, la nueva posición del frente de onda es la superficie tangente a los frentes secundarios.

Los rayos se consideran paralelos para simplificar los cálculos.

Sea $\delta =r_2-r_1=\frac{a}{2}\sin \theta$ de manera que la luz en $P$ se cancela (Interferencia destructiva) cuando $\delta =\frac{a}{2}\sin \theta =\frac{\lambda }{2}$. Si dividimos la pantalla en cuartos, sextos, etc, surge $\sin \theta =\pm 2\frac{\lambda }{a};\pm 3\frac{\lambda }{a};\dots$. Se establece la condición de franja oscura:

$\sin \theta =m\frac{\lambda }{a},\text{ para }m=\pm 1,\pm 2,\dots$

Si $\theta$ es pequeño, entonces $\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta ⟹\theta =m\frac{\lambda }{a}=\frac{y}{L}⟹y_{\text{oscura}}=Lm\frac{\lambda }{a}$.

Considerando ahora que el arco es igual al ángulo por el radio:

$E_0=\beta R⟹R=\frac{E_0}{\beta }⟹\frac{E_P}{2}=\frac{E_0}{\beta }\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)⟹E_P=E_0\frac{\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)}{\left(\frac{\beta }{2}\right)}$

Se obtiene la amplitud $E_P$ para la franja oscura. Conociendo la intensidad:

$I=I_0\frac{{\sin }^2\left(\frac{\beta }{2}\right)}{{\left(\frac{\beta }{2}\right)}^2}$

Ahora:

$\frac{\lambda }{2\pi }=\frac{\Delta r}{\Delta \phi }=\frac{a\sin \theta }{\beta }⟹\beta =\frac{2\pi }{\lambda }a\sin \theta =2\pi m⟹I=I_0\frac{{\sin }^2\left(\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }\right)}{{\left(\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }\right)}^2}$