Herramientas Matemáticas para la Localización Espacial

Estas herramientas matemáticas para la Localización Espacial son útiles en la Robótica.

flowchart TD;
1["Manipulación de piezas"] -->|mediante| 2["Movimiento espacial del extremo del robot"] -->|requiere| 3["Herramientas matemáticas para especificar la posición y orientación"]

Representación de la posición en coordenadas cartesianas, cilíndricas, o esféricas:

Representación de la orientación: sea la siguiente rotación $\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{p_x}{p_y}\right]=R\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{p_u}{p_v}\right]$ realizada con la matriz de rotación $R=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]$. $R$ siempre es ortogonal, tal que $R^{-1}=R^T$. En 3D, la matriz podría ser:

$R=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]$

Técnicas matemáticas:

• Se puede hacer una composición de rotaciones, rotando en cada vez sobre distintos ejes.
• Se pueden usar ángulos de Euler.
• Se puede definir un vector $k$ como eje de rotación y un ángulo de giro $\theta$.
• Los cuaternios $Q=[q_0,q_1,q_2,q_3]=[s,\vec{v}]$ tienen alta eficiencia computacional.
• Se pueden usar coordenadas homogéneas de un espacio $(n+1)$-dimensional para representar sólidos en el espacio $n$-dimensional.

Matrices de Transformación Homogénea

Una matriz de transformación homogénea es una matrix 4x4 que representa la transformación de un vector en coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro.

$T=\left[\begin{array}{cc}{R}_{3\times 3}& P_{3\times 1}\\ f_{1\times 3}& w_{1\times 1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\text{Rotacioˊn}& \text{Traslacioˊn}\\ \text{Perspectiva}& \text{Escalado}\end{array}\right]$

Por ejemplo, la siguiente matriz básica de traslación:

$T(p)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& p_x\\ 0& 1& 0& p_y\\ 0& 0& 1& p_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\text{ tal que }\left[\begin{array}{c}{r}_x\\ r_y\\ r_z\\ 1\end{array}\right]=T\left[\begin{array}{c}{r}_u\\ r_v\\ r_w\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_u+p_x\\ r_v+p_y\\ r_w+p_z\\ 1\end{array}\right]$

Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicas multiplicando las matrices correspondientes. Cuidado, el producto NO es conmutativo: rotar y luego trasladar no es lo mismo que trasladar y luego rotar.

Una transformación compleja puede descomponerse en la aplicación consecutiva de transformaciones (giros y traslaciones) simples.