Derivación Numérica

Los métodos de derivación numérica permiten aproximar la derivada de una función en un punto teniendo solo un conjunto de datos experimentales.

Si se tiene el valor real, se puede calcular el error de la aproximación de la siguiente manera:

$E_{\text{absoluto}}=|V_{\text{real}}-V_{\text{aprox}}|,E_{\text{relativo}}=\left|\frac{V_r-V_a}{V_r}\right|,E_{\%}=|E_r\cdot 100\%$

Distintos métodos tienen errores mayores o menores, y se busca que sea lo menor posible. A menor error, mejor aproximación.

Método de Diferencias Finitas

Este método propone aproximar la función por polinomios. $x_0$ es el punto bajo estudio, y $h_i$ es el espaciamiento constante de la tabla de valores experimentales que se posee, tal que $x_{0+1}=x_0+h$.

Diferencias Finitas hacia Adelante

Primera diferencia:

$f^{\prime }(x_0)=\frac{f(x_{0+1}-f(x_0)}{h},f^{\prime \prime }(x_0)=\frac{f(x_{0+2})-2f(x_{0+1})+f(x_0)}{h^2}$

Segunda diferencia (mejor aproximación):

$f^{\prime }(x_0)=\frac{-f(x_2)+4f(x_1)-3f(x_0)}{2h},f^{\prime \prime }(x_0)=\frac{-f(x_3)+4f(x_2)-5f(x_1)+2f(x_0)}{h^2}$

Diferencias Finitas hacia Atrás

Primera diferencia:

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x_0)& =\frac{f(x_0)-f(x_{-1})}{h}\\ f^{\prime \prime }(x_0)& =\frac{f(x_0)-2f(x_{-1})+f(x_{-2})}{h^2}\end{array}$$

Segunda diferencia:

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x_0)& =\frac{3f(x_0)-4f(x_{-1})+f(x_{-2})}{2h}\\ f^{\prime \prime }(x_0)& =\frac{2f(x_0)-5f(x_{-1})+4f(x_{-2})-f(x_{-3})}{h^2}\end{array}$$

Diferencias Finitas Centrales

Primera diferencia:

\begin{align}f'(x_0)&=\frac{f(x_1)-f(x_{-1})}{2h} \\ f''(x_0)&=\frac{f(x_0)-2f(x_{-1})+f(x_{-2})}{h^2}\end{align}

Segunda diferencia:

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x_0)& =\frac{-f(x_2)+8f(x_1)-8f(x_{-1})+f(x_{-2})}{12h}\\ f^{\prime \prime }(x_0)& =\frac{-f(x_2)+16f(x_1)-30f(x_0)+16f(x_{-1})-f(x_{-2})}{12h^2}\end{array}$$