Polarización de un Dieléctrico

Al insertar un dieléctrico entre las placas de un Capacitor, el dieléctrico se polariza, generando un pequeño Campo Eléctrico ${\vec{E}}_i$ en sentido opuesto a ${\vec{E}}_0$. Dado $E=E_0-E_i$, el campo eléctrico disminuye.

Vector Polarización

El vector polarización es el momento dipolar por unidad de volumen: $\vec{P}=\frac{\vec{p}}{V}$, y tiene la misma dirección y sentido que $\vec{E}$. El campo eléctrico induce una densidad superficial de polarización ${\sigma }_p$.

Un dieléctrico sometido a un campo se comporta como un Dipolo Eléctrico con carga $Qp=\pm {\sigma }_{p}A$, por ende $p={\sigma }_{p}AL$, siendo $A$ el área de la placa y $L$ la separación entre las placas.

El módulo del vector está dado por $|\vec{P}|=\frac{p}{V}=\frac{p}{AL}=\frac{{\sigma }_{p}AL}{AL}=|{\sigma }_p|⟹PA=-Q_p$, donde $PA$ representa el flujo del vector polarización a través de $A$. Aplicando Gauss, para una superficie cerrada que contenga la carga de polarización $-Qp$, se tiene $\oint \vec{P}\cdot d\vec{S}=-Q_p$. El flujo del vector polarización a través de una superficie cerrada es el opuesto de la carga de polarización superficial.

Vector Desplazamiento Eléctrico

Sea ${\sigma }_p=\pm P_n\wedge E_l=E_0-E_p\wedge E_p<E_0$. Dado que sin dieléctrico se tiene $E_l=E_0=\frac{{\sigma }_l}{{\epsilon }_0}$, y con dieléctrico se tiene $E_l=\frac{{\sigma }_l+{\sigma }_p}{{\epsilon }_0}=\frac{{\sigma }_l-P}{{\epsilon }_0}$. Entonces, ${\sigma }_l={\epsilon }_0{E}_l+P⟹\vec{D}={\epsilon }_0{\vec{E}}_l+\vec{P}$. Se define un nuevo campo vectorial creado por las cargas libres del conductor denominado vector desplazamiento $\vec{D}$.

La polarización $\vec{P}$ es proporcional al campo eléctrico aplicado: $\vec{P}={\chi }_e{\epsilon }_0\vec{E}$, donde ${\chi }_e$ es una constante de proporcionalidad adimensional que mide la facilidad de polarización de un dieléctrico, lo que se conoce como susceptibilidad eléctrica.

Se puede obtener la permitividad $\epsilon$ del material: $\vec{D}={\epsilon }_0\vec{E}+{\chi }_e{\epsilon }_0\vec{E}=(1+{\chi }_e){\epsilon }_0\vec{E}=\epsilon \vec{E}⟹\epsilon =(1+{\chi }_e){\epsilon }_0$

Ley de Gauss Generalizada

$\oint \vec{E}d\vec{S}=\frac{q_l+q_p}{{\epsilon }_0}=\frac{q_l}{{\epsilon }_0}-\frac{1}{{\epsilon }_0}\oint \vec{P}d\vec{S}⟹{\epsilon }_0\oint \vec{E}d\vec{S}+\oint \vec{P}d\vec{S}=q_l⟹q_l=\oint ({\epsilon }_0\vec{E}+\vec{P})d\vec{S}$

Se encuentra que el flujo del vector desplazamiento eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga libre neta encerrada en su interior.

$\Phi =\oint \vec{D}\cdot \overrightarrow{dS}=\oint \epsilon \vec{E}\cdot \overrightarrow{dS}=q_{\text{libre}}⟹\oint \vec{E}\cdot \overrightarrow{dS}=\frac{q_{\text{libre}}}{\epsilon }$

El vector desplazamiento $\vec{D}$ no tiene un claro significado físico. La única razón para definirlo es que permite calcular campos en presencia de dieléctricos sin tener primero conocimiento de las distribuciones de carga de polarización.