Flujo Eléctrico

El flujo eléctrico es la cantidad de líneas del Campo Eléctrico que atraviesan una superficie. Hallar el flujo de un campo vectorial $\Phi$ involucra evaluar ese campo vectorial sobre esa superficie. El flujo eléctrico total es la suma del flujo puntual para cada punto de la superficie: $\Phi E_T={\sum }_{i=1}^n\Phi E_i$.

$\Phi E=\oint \vec{E}d\vec{A}$

Dado que $\vec{E}\cdot d\vec{A}=E\cdot dA\cdot \cos (\alpha )$, si $\alpha =90°⟹\Phi =0$. Analizando una superficie gaussiana:

$E=k\frac{q}{r^2},{\Phi }_E=\oint EdA=E\oint dA=E4\pi r^2=\frac{1}{\cancel{4\pi }{\epsilon }_0}\frac{q}{\cancel{r^2}}\cancel{4\pi }\cancel{r^2}=\frac{q}{{\epsilon }_0}$

Ley de Gauss

Suponiendo simetría perfecta y un campo eléctrico constante para que el campo sea o paralelo o perpendicular a la superficie en cuestión. La Ley de Gauss permite hallar la carga neta que la superficie encierra:

${\Phi }_E=\oint \vec{E}d\vec{A}=\oint EdA\cos (\alpha )=\frac{q}{{\epsilon }_0}$

Se deduce que el flujo eléctrico en la esfera no depende del radio de la esfera. Toda línea que entra a la superficie también sale, por ende el flujo neto es independiente de la forma de la superficie. El vector superficie $d\vec{A}$ es normal a la superficie.

Siendo $\rho$ la densidad del volumen $V$, se obtiene la forma diferencial de la Ley de Gauss:

$\oint \vec{E}d\vec{s}=\oint \vec{\nabla }\cdot \vec{E}dV=\frac{1}{{\epsilon }_0}\oint \rho dV⟹\vec{\nabla }\cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$